高三数学预防求轨迹方程时漏解有妙招知识精讲VIP免费

高三数学预防求轨迹方程时漏解有妙招知识精讲赵红霞求动点的轨迹方程是解析几何的一个重要问题，轨迹概念包含“完备性”与“纯粹性”两方面，然而因某种原因导致动点轨迹遗漏的现象经常出现。下面通过典型例题，就解题过程中造成动点轨迹遗漏的原因总结如下，以期防范。一、忽略对动点运动的多种情形的讨论：例1直角△ABC的两直角边长分别是BC=a，AC=b（a>b），A、B两点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动（可包括原点），求顶点C的轨迹方程。错解：如图1，设C（x,y），由A、O、B、C四点共圆，可得∠ABC=∠AOC，即，所以。又当A与原点重合时，点C的横坐标为，当点B与原点重合时，点C的横坐标为，故顶点C的轨迹方程为。剖析：上述解法遗漏了另一种情况（如图2）。故顶点C的轨迹方程为或。二、忽略动点的特殊位置。求动点的轨迹，不但要考虑动点运动规律的一般情况，还要考虑动点的特殊位置，如极限位置、临界位置、轨迹与坐标轴的交点，忽视对这些特殊位置的考虑，常会造成轨迹遗漏。例2已知定线段AB的长为2，点P是以点A为圆心的单位圆上的动点，∠PAB的平分线交PB于Q，求点Q的轨迹方程。错解：以A为坐标原点，线段AB所在的射线为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，如图3所示。则圆A的方程为，由三角形的内角平分线的性质定理得，即。设点Q的坐标为（x,y），由定比分点坐标公式可得点P的坐标是（），而P在圆上，可得。用心爱心专心即（*）此就是点Q的轨迹方程。剖析：应用三角形内角平分线定理的前提条件是P、A、B不共线，而上述解法却忽视了P、A、B共线的情形，导致求轨迹的漏解。正确解法应对P、A、B共线的情形补充说明：（1）当点P运动到点C（－1，0）时，∠CAB=180°。其平分线即y轴与CB的交点是（0，0），适合（*）式；（2）当点P运动到点D（1，0）时，∠DAB=0，其平分线即Ox与DB的交点为线段DB，这时点Q的轨迹就是线段DB：（）。因此，点Q的轨迹方程是或y=0（）。三、忽略题设的几何条件。若题设的几何条件情形不止一种，而在求轨迹问题中又没有充分全面地加以分析考虑，自然会造成轨迹遗漏。例3求与一直线和圆都相切的圆的圆心的轨迹。错解：设已知直线为l，已知圆的半径为a，建立如图4所示的平面直角坐标系，使直线l平行于x轴，且在x轴的上方，使半径为a的圆的圆心在原点。不妨设所求圆的圆心P的坐标为（x,y），半径为r，原点O到直线l的距离为b，则直线l的方程为y=b（b>a）。因为动圆P与圆O相切，所以（取“＋”时两圆外切，取“－”时两圆内切），即。①又因为动圆P与直线l相切，所以点P到直线l的距离为r。因此。②由①②消去r，可得点P的轨迹为抛物线：③剖析：上述解法忽视了对题设几何条件中已知直线l和已知圆O之间的位置关系进行分析，只就相离情形进行解答，而未注意到相切、相交这两种情况，因而造成了轨迹遗漏。事实上，当直线l与圆O相切，即b=a时，由③易知动圆的圆心P的轨迹为抛物线：或x=0（y≠0，y≠a）；当直线l与圆O相交，即b