高三数学第一轮复习：直线与平面垂直；平面与平面垂直（理）人教版【本讲教育信息】一.教学内容：直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角二.本周教学重、难点：1.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理，了解三垂线定理及其逆定理，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。2.掌握直线与平面、平面与平面所成角的概念和作法，并会计算所求角的大小。【典型例题】[例1]如图所示，在棱长为的正方体中，E、F分别是棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G。（1）求二面角的大小；（2）M为棱上的一点，当的值为多少时，能使平面EFB1？请给出证明。解：（1）在底面AC中 AC⊥BD，EF//AC∴BG⊥EF，连结B1G又 B1B⊥底面AC∴B1G⊥EF是二面角的平面角∴二面角的正切值为∴二面角的大小为（2）当时能使平面EFB1证明如下：面AB1，知D1M在面AB1的射影是A1M ∴用心爱心专心而∴∴，因此同理，∴平面EFB1[例2]如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，。求证：MN⊥CD，MN⊥平面PCD。证明：连结AC、BD交于O，连结OM、ON、PM、MC则NO//PA，又PA⊥平面ABCD∴NO⊥平面ABCD∴NO⊥CD，又MO⊥CD∴CD⊥平面MON∴CD⊥MN在中，∴PA=AD又 AM=BM，PA⊥AM，BC⊥BM∴∴PM=MC N为PC的中点∴MN⊥PC又∴MN⊥平面PCD[例3]如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=CD=，AD=BC=，，，将其沿对角线BD折成直二面角。（1）证明AB⊥平面BCD；（2）证明平面ACD⊥平面ABD；（3）求二面角的大小。解析：（1）证明：在中，由余弦定理，得∴∴又 二面角为直二面角，平面ABD，DB=平面平面BDC∴AB⊥平面BDC（2）证明： 四边形ABCD是平行四边形，∴DC⊥BD AB⊥平面BDC，AB平面ABD∴平面ABD⊥平面BDC用心爱心专心又 BD=平面平面BDC，DC平面BDC，DC⊥平面ABD又 DC平面ADC∴平面ADC⊥平面ABD（3）作BQ⊥CE于Q，由平面几何知识，得连结AQ，由三垂线定理，AQ⊥CE∴是二面角的平面角在中，∴即二面角的大小为[例4]如图所示，ABCD是正四面体，E、F分别是BC和AD的中点，求：（1）AE与CF所成的角；（2）CF与平面BCD所成的角。解：（1）如图，连结DE，取ED的中点K，连结FK、CK F是AD的中点∴AE//FK则为异面直线AE与CF所成的角（或其补角）设正四面体棱长为，则可得在中，∴在中，∴，即异面直线AE和CF所成角为（2）在正四面体ABCD中， 各棱长都相等，E是BC的中点用心爱心专心∴BC⊥AE，BC⊥DE∴BC⊥面AED∴面ADE⊥面BCD，交线为DE过A作AO⊥DE于O，则AO⊥面BCD过F作FH⊥DE于H，则FH⊥面BCD，连结CH∴为CF与面BCD所成的角 ∴故CF与面BCD所成的角为[例5]在三棱锥中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB=，。（1）求证：SC⊥平面BDE；（2）求平面BDE与平面BDC所成二面角的大小。解：（1）证明： SA⊥平面ABC，AB、AC、BD平面ABC∴SA⊥AB、SA⊥AC、SA⊥BD∴ ∴SB=BC E为SC的中点∴BF⊥SC又DE⊥SC∴SC⊥平面BDE（2）由（1）的结论及平面BDE，得BD⊥SC，再由①得BD⊥平面SAC，而CD、DE平面SAC，∴BD⊥CD、BD⊥DE∴为平面BDE与平面BDC所成的二面角的平面角由AB⊥BC，得在中，∴∴[例6]如图所示，矩形ABCD中，PD⊥平面ABCD，若PB=2，PB与平面PCD所成的角为，PB与平面ABD成角。（1）求CD的长；（2）求PB与CD所成的角；（3）求二面角的余弦值。用心爱心专心解：（1） PD⊥平面ABCD∴PD⊥BC又BC⊥DC∴BC⊥平面PDC∴为PB与平面PCD所成的角，即同理，即为PB与平面ABD所成的角∴在中， PB=2∴BC=PC=在中，∴PD=1，BD=在中，∴CD=1（2） AB//CD∴PB与CD所成的角即为PB与AB所成的角，即为PB与AB所成的角。 PD⊥平面ABCD，AD⊥AB∴PA⊥AB在中，AB=CD=1，PB=2∴（3）由点C向BD作垂线，垂足为E，由点E向PB作垂线，垂足为F，连结CF PD⊥平面ABCD∴PD⊥CE又CE⊥BD∴CE⊥平面PBDCF为平面PBD的斜线，由于EF⊥PB∴PB⊥CF 为二面角的平面角在中，，DC=1，BD=∴CE=在中，∴∴∴二面角的余弦值为[例7]在长方体中，，点E在棱AB上移动。（1）证明；（2）AE等于何值时，二面角的大小为？解：（1）证明： AD=AA1∴四边形ADD1A1为正方形故又为长方体用心爱心专心∴AB⊥平面AA1D1D又平面AA1D1D...
