高三数学空间向量苏教版【本讲教育信息】一.教学内容：空间向量二.教学目标：1、理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘。2、了解空间向量的基本定理；3、掌握空间向量的数量积的定义及其性质；4、理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。5、掌握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件。三.知识要点：1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：⑴空间的一个平移就是一个向量。⑵向量一般用有向线段表示。同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2.空间向量的运算空间向量的加法、减法与数乘向量运算：；；运算律：⑴加法交换律：⑵加法结合律：⑶数乘分配律：3.平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使＝λ。4.共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作。当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。5.共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ。推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式。。其中向量叫做直线的方向向量。6.空间直线的向量参数表示式：或，中点公式：7.向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：。通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。8.共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使。推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对（），使①或对空间任一点，有②或③上面①式叫做平面的向量表达式。9.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组（），使。若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。10.空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。11.向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。12.向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。13.空间向量数量积的性质：（1）。（2）。（3）。14.空间向量数量积运算律：（1）（结合律）。（2）（交换律）。（3）（分配律）。【典型例题】例1.证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x＋y＋z＝1，使得＝x＋y＋z。分析：要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件，自然想到共面向量定理。解：依题意知，B、C、D三点不共线，则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得＝＋x1＋y1＝＋x1（－）＋y1（－）＝（1－x1－y1）＋x1＋y1，取x＝1－x1－y1、y＝x1、z＝y1，则有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1。点评：向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础。共（线）面向量基本定理给出了向量共（线）面的充要条件，可用以证明点共（线）面新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆本题的结论，可作为证明空间四点共面的定理使用。例2.在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离。解：如上图，因为∠ACD＝90°，所以·＝0。同理，·＝0。因为AB与CD成60°角，所以〈，〉＝60°或120°。因为＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·...
