高三数学文第一轮复习—直线与圆锥曲人教实验A版【本讲教育信息】一.教学内容：直线与圆锥曲线二.重点、难点1.曲线：2.直线：（1）无交点（2）一个交点，相切（3）两个交点P、Q【典型例题】[例1]A（4，1）过A作交曲线M于P、Q，A恰为PQ中点，求。（1）（2）（3）解：（1）设，∴∴∴A为PQ中点∴，∴∴（2）同理：用心爱心专心（3）同理：[例2]过曲线M的焦点F，作直线交曲线M于A、B，求的最小值。（1）（2）（3）解：（1）①设<1>交于两支∴时，<2>交于右支∴②综上所述，（2）同理：（3）同理：[例3]（1）椭圆，直线，若M上存在两个不同的点，关于对称，求m的取值范围。（2）双曲线，直线，若M上存在两个不同的点关于对称，求k的取值范围。解：（1）设对称点A，B∴用心爱心专心∴∴∴（2）设对称点A、B∴∴∴[例4]椭圆M，中心在原点，焦点在x轴，直线交椭圆于P、Q，且OP⊥OQ，，求椭圆方程。解：设椭圆∴设∴∴用心爱心专心令∴∴∴[例5]曲线P在M上，A（1，2），B（3，8），求最小值。与AB平行的曲线的切线：依图∴[例6]如图，直线与双曲线的右支交于不同的两点A，B。（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。解析：（1）将直线的方程代入双曲线C的方程后，整理得用心爱心专心①依题意，直线与双曲线C的右支交于不同的两点，故解得k的取值范围为（2）设A，B两点的坐标分别为，则由①式得②假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点，则由FA⊥FB得即整理得③把②式及代入③式化简得解得或（舍去）可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。[例7]已知抛物线的顶点O，点A（5，0），倾斜角为的直线与线段OA相交但不过O，A两点，且交抛物线于M，N两点，求△AMN面积最大的直线的方程，并求△AMN的最大面积。解析：设直线的方程为 直线与线段OA相交∴由方程组消去y得 ∴直线与抛物线必有两个交点，设为，，则由弦长公式得用心爱心专心点A到直线的距离为∴∴当，即时，面积的最大值为，此时直线方程为。（提示：计算时，可分别计算和，利用）[例8]设双曲线与直线相交于两个不同的点A，B（1）求双曲线C的离心率e的取值范围；（2）设直线与y轴的交点为P，且，求的值。解析：（1）由C与相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解，消去y并整理得①所以解得且双曲线的离心率 且∴且用心爱心专心即离心率的取值范围为（2）设 ∴由此得由于都是方程①的根，且所以，消去，得由于，所以[例9]在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点，离心率为的椭圆。设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x，y轴的交点分别为A，B，且向量。求：（1）点M的轨迹方程；（2）的最小值。解析：（1）椭圆的方程可写为，式中，且得，所以曲线C的方程为设，因P在C上，有，，，得切线AB的方程为。设和，由切线方程得用心爱心专心由得M的坐标为，由满足C的方程，得点M的轨迹方程为（2） ∴当且仅当，即时，上式取等号，故的最小值为3[例10]设抛物线的焦点为F，准线为，，是抛物线上不同两点，且与为共线向量。（1）求证：；（2）上是否存在点C，使？证明你的结论。解析：（1）证明：由题意设，则∴（*）又在抛物线上∴又 A，B为不同两点∴且都不为零将，，代入（*）式整理得又 ∴用心爱心专心（2）假设存在点使 ，∴即由（1）得，代入上式得即∴∴存在点使结论成立另解：AB中点坐标为，它到准线的距离为∴以AB为直径的圆与准线相切∴这样的点C存在且唯一[例11]已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上。斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，与共线。（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。解析：（1）设椭圆方程为，，则直线AB的方程为代入，化简得令，用心爱心专心则，由，，与共线，得又，∴∴即∴∴故离心率（2）证明：由（1）知，所以椭圆可化为设，由已知得∴ 在椭圆上∴即①由（1）知，，∴∴用心爱心专心又，代入①得故为定值，定值为1【模拟试题】（答题时间：80分钟）1.已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长...
