高三数学文第一轮复习—直线与圆锥曲人教实验A版【本讲教育信息】一.教学内容:直线与圆锥曲线二.重点、难点1.曲线:2.直线:(1)无交点(2)一个交点,相切(3)两个交点P、Q【典型例题】[例1]A(4,1)过A作交曲线M于P、Q,A恰为PQ中点,求。(1)(2)(3)解:(1)设,∴∴∴A为PQ中点∴,∴∴(2)同理:用心爱心专心(3)同理:[例2]过曲线M的焦点F,作直线交曲线M于A、B,求的最小值。(1)(2)(3)解:(1)①设<1>交于两支∴时,<2>交于右支∴②综上所述,(2)同理:(3)同理:[例3](1)椭圆,直线,若M上存在两个不同的点,关于对称,求m的取值范围。(2)双曲线,直线,若M上存在两个不同的点关于对称,求k的取值范围。解:(1)设对称点A,B∴用心爱心专心∴∴∴(2)设对称点A、B∴∴∴[例4]椭圆M,中心在原点,焦点在x轴,直线交椭圆于P、Q,且OP⊥OQ,,求椭圆方程。解:设椭圆∴设∴∴用心爱心专心令∴∴∴[例5]曲线P在M上,A(1,2),B(3,8),求最小值。与AB平行的曲线的切线:依图∴[例6]如图,直线与双曲线的右支交于不同的两点A,B。(1)求实数k的取值范围;(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由。解析:(1)将直线的方程代入双曲线C的方程后,整理得用心爱心专心①依题意,直线与双曲线C的右支交于不同的两点,故解得k的取值范围为(2)设A,B两点的坐标分别为,则由①式得②假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点,则由FA⊥FB得即整理得③把②式及代入③式化简得解得或(舍去)可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。[例7]已知抛物线的顶点O,点A(5,0),倾斜角为的直线与线段OA相交但不过O,A两点,且交抛物线于M,N两点,求△AMN面积最大的直线的方程,并求△AMN的最大面积。解析:设直线的方程为 直线与线段OA相交∴由方程组消去y得 ∴直线与抛物线必有两个交点,设为,,则由弦长公式得用心爱心专心点A到直线的距离为∴∴当,即时,面积的最大值为,此时直线方程为。(提示:计算时,可分别计算和,利用)[例8]设双曲线与直线相交于两个不同的点A,B(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;(2)设直线与y轴的交点为P,且,求的值。解析:(1)由C与相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解,消去y并整理得①所以解得且双曲线的离心率 且∴且用心爱心专心即离心率的取值范围为(2)设 ∴由此得由于都是方程①的根,且所以,消去,得由于,所以[例9]在平面直角坐标系中,有一个以和为焦点,离心率为的椭圆。设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x,y轴的交点分别为A,B,且向量。求:(1)点M的轨迹方程;(2)的最小值。解析:(1)椭圆的方程可写为,式中,且得,所以曲线C的方程为设,因P在C上,有,,,得切线AB的方程为。设和,由切线方程得用心爱心专心由得M的坐标为,由满足C的方程,得点M的轨迹方程为(2) ∴当且仅当,即时,上式取等号,故的最小值为3[例10]设抛物线的焦点为F,准线为,,是抛物线上不同两点,且与为共线向量。(1)求证:;(2)上是否存在点C,使?证明你的结论。解析:(1)证明:由题意设,则∴(*)又在抛物线上∴又 A,B为不同两点∴且都不为零将,,代入(*)式整理得又 ∴用心爱心专心(2)假设存在点使 ,∴即由(1)得,代入上式得即∴∴存在点使结论成立另解:AB中点坐标为,它到准线的距离为∴以AB为直径的圆与准线相切∴这样的点C存在且唯一[例11]已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上。斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,与共线。(1)求椭圆的离心率;(2)设M为椭圆上任意一点,且,证明为定值。解析:(1)设椭圆方程为,,则直线AB的方程为代入,化简得令,用心爱心专心则,由,,与共线,得又,∴∴即∴∴故离心率(2)证明:由(1)知,所以椭圆可化为设,由已知得∴ 在椭圆上∴即①由(1)知,,∴∴用心爱心专心又,代入①得故为定值,定值为1【模拟试题】(答题时间:80分钟)1.已知椭圆中心在原点,一个焦点为,且长轴长...