高三数学文空间直线和平面综合复习人教版【同步教育信息】一.本周教学内容:空间直线和平面综合复习【典型例题】[例1]已知正方体1111DCBAABCD棱长为a。(1)求BD1与AC所成的角;(2)求BD1与平面ABCD所成的角;(3)求11DB与平面ABCD的距离;(4)求证:BD1平面CAB1,并求平面CAB1分1BD所成两部分的比。解:如图所示ABCDOMA1D1C1B1(1)由DD1平面ABCD,DB为BD1在平面ABCD内的射影,且ADDB,则根据三垂线定理,有ACBD1(2)由DB为BD1在平面ABCD内的射影,则BDD1为BD1与平面ABCD所成的角。在DBDRt1中,222tan1aaBDD,故22arctan1BDD(3)由//11DB平面ABCD,又由DD1平面ABCD,则DD1的长就等于11DB与平面ABCD的距离,故所求距离为a。(4)由三垂线定理可证ACBD1,同理可证11ABBD,故BD1平面CAB1。连结OB1,设MOBBD11由11//DBOB,则BMO~11MBD,故21111DBOBMDMB即平面CAB1分1BD所成的两部分比为2:1[例2]在正方体1111DCBAABCD中,边长为a,E为BC的中点,求异面直线AE和CA1间的距离。解:如图,取AD、11CB的中点分别为F、1E,连结FA1、1CE由1111EACEFCFA,则四边形11FCEA为菱形111111////FCEAAEFCEAAEFCEAFCFCAE面面面由故AE到面11FCEA的距离即为异面直线AE和CA1的距离过B作BM面11FCEA于M,过E作EN面11FCEA于N,由FCBCBE1,用心爱心专心故M、N均在CFE1的角平分线CA1上的中点为由BCEBMEN//N为CM的中点BMNE21在BCARt1中,aBC,aBA21,aCA31,则aCABCBABM3611aBMNE6621,即异面直线AE与CA1的距离为a66[例3]在平面内有ABC,在外有点S,斜线ACSA,BCSB,且斜线SA、SB分别与平面成等角。(1)求证:BCAC;(2)设点S与平面的距离为4,BCAC且6AB,试求点S与直线AB的距离。解:如图所示ABCDSO(1)证明:过点S作SD于D,连结AD、BD,则ADSD,BDSD,且SAD、SBD分别为SA、SB和平面所成的角,依题意,有SBDSAD由SDBRtSDARt,则SBSA又由ACSA,BCSB,则SBCRtSACRt,故BCAC(2)在四边形ACBD中,由ADAC,BDBC,BCAC,又由题设BCAC,则四边形ACBD为正方形连结AB、CD并设OCDAB,连结SO由ABSOABDOSD(三垂线定理),即SO为S到直线AB的距离由6AB,则321ABDO,又4SD,则在SDORt中,有5342222DOSDSO,即点S到AB的距离为5[例4]已知棱长为10的正四面体ABCD中,E为线段AD上的点,且CE与平面BCD所成的角为30,求线段AE的长。解:如图,设aAE,则aDE10用心爱心专心ABCDEFMO作EF平面BCD于F,连结CF,则ECF为CE与平面BCD所成的角,即ECF30作AO平面BCD于O,则AOEF//,由四面体ABCD为正四面体,则3610AO由)10(36aDAAODEEFDADEAOEF在EFCRt中,由30ECF,则)10(36221aCECEEF又在ACE中,10AC,aAE,由余弦定理,得AAEACAEACCEcos2222,即212010)10(38222aaa化简得050013052aa解此方程,有6913a或6913a(舍)【模拟试题】(答题时间:90分钟)一.选择题1.两条直线ba,与平面所成的角相等,则ba,的位置关系()A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能2.空间两条直线平行的充分条件是()A.平行于同一平面B.垂直于同一条直线C.与同一平面所成的角相等D.分别垂直于两个平行平面3.如果AP、BP、CP两两垂直,则P在平面ABC内的射影一定是ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心4.下列命题中不正确命题的个数是()(1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直;(2)过平面外一点,可作无数条直线和这个平面垂直;(3)过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直;(4)若ba,异面,过a一定可作一个平面与b垂直;(5)若ba,异面,过不在ba,上的点M,一定可以作一个平面与ba,都垂直。A.1个B.2个C.3个D.4个5.若直线l与平面所成的角为3,直线a在平面内,且与直线l异面,则直线l与直线a所成的角的取值范围是()A.]32,0[B.]2,3[C.]32,3[D.]32,2[6.在正方体1111DCBA...