高三数学均值不等式应用误区剖析 专题辅导VIP免费

高三数学均值不等式应用误区剖析李可进均值不等式是几个正数和与积转化的依据，不但可以直接解决和与积的不等问题，而且通过结合不等式的性质、函数的单调性等还可以解决其他形式的不等式问题。由于均值不等式在解决一些最值及（证明）问题中的功能，其地位格外引人注目。但是，在应用过程中，往往会出错而不知错在哪里。下面对几道例题进行剖析，供同学们参考。例1.求函数的最值。错解：∴故y有最大值错因：均值不等式应用的条件不具备。均值不等式成立的前提条件是，如果时，。在运用均值不等式时，首先要观察其条件是否允许直接使用，否则，就需要分情况讨论。正解：当x>0时，故当x<0时，故例2.求的最小值。错解：错因：均值不等式应用时另一边不是定值。在运用均值不等式时，不等式的另一边必须为定值，而题中所得并非定值。在解题过程中，合理的“拆、拼、凑”是常用的解题技巧。正解：当且仅当即时，取得最小值例3.的最小值为_________________。错解：用心爱心专心115号编辑错因：上述解法忽略了均值不等式等号成立的条件，当，即sinx=2时才取得等号，而事实上sinx=2是不成立的。正解：（当且仅当sinx=1，即时，取得等号）（当且仅当sinx=1，即时，取得等号）∴故函数的最小值为启示：①均值不等式具有将“和式”转化为“积式”，或“积式”转化为“和式”的功能；②创设应用均值不等式的条件、合理拆分或拼凑因式是常用的解题技巧；③“和定，积最大；积定，和最小”应用此结论求值应注意“一正、二定、三相等”。例4.已知x，，且x+y=5，若lgx+lgy恒成立，则k的最小值是___________。解析：因为x，，所以（当且仅当x=y时取得等号）点评：通过不等式产生最值，使恒成立问题获解，此法是求解恒成立问题的一种重要的方法。用心爱心专心115号编辑