函数与方程的思想方法（文）一周强化一、知识精析函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决．这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，以变量的运动变化，联系和发展角度打开思想．和函数有必然联系的是方程，方程f(x)＝0的解，就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究，要确定变化过程的某些量，往往要转化为求出这些量满足的方程，希望通过方程（组）来求得这些量．这就是方程的思想，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的．二、例题讲解例1、对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围．例2、已知(3x4＋7x3＋4x2－7x－5)5·(3x4－7x3＋4x2＋7x－5)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a40x40，试求a0＋a2＋a4＋…＋a40的值．例3、已知α、β均为锐角，且求证：当x＞0时，成立．例4、设a＞b＞c,且a＋b＋c＝0,抛物线y＝ax2＋2bx＋c被x轴截得的弦长为l，求证：．例5、已知集合A＝{(x,y)|x2＋mx－y＋2＝0},B＝{(x,y)|x－y＋1＝0,且0≤x≤2}．如果A∩B≠Ф，求实数m的取值范围．用心爱心专心例6、已知a、b不同时为零，且满足：asinx＋bcosx＝0①Asin2x＋Bcos2x＝C．②求证：2abA－(a2－b2)B＋(a2＋b2)C＝0．二、例1分析：我们习惯上把x当作自变量，构造函数y＝x2＋(p－4)x＋3－p,于是问题转化为：当p∈[0,4]时，y＞0恒成立，求x的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的．如果把p看作自变量，x视为参数，构造函数y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)，则y是p的一次函数，就非常简单．解答：令f(p)＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)．当x＝1时，f(p)＝0，不满足f(p)＞0．∴f(p)表示p的一次函数． p∈[0,4],∴函数f(p)的图象是一条线段，要使f(p)＞0恒成立，求且仅当f(0)＞0，且f(4)＞0，解这个不等式组即可求得x的取值范围．答案点评：x的取值范围是(－∞,－1)∪(3,＋∞)．本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为了一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组，从而求得了x的取值范围．例2：分析：拿到此题的第一感觉，可能会联想到二项式定理，但是仔细观察会发现，3x4＋7x3＋4x2－7x－5与3x4－7x3＋4x2＋7x－5并不是某两个二项式的展开式．至此，不少同学可能会思想受阻．再回到已知，不妨比较一下3x4＋7x3＋4x2－7x－5与3x4－7x3＋4x2＋7x－5对应项的系数，不难发现：它们的偶次幂项的系数都相等，而x的奇次幂项的系数互为相反数，这时我们便联想到函数的奇偶性．用心爱心专心解答：设f(x)＝(3x4＋7x3＋4x2－7x－5)5·(3x4－7x3＋4x2＋7x－5)5,则f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．∴a1＝a3＝a5＝…＝a39＝0． f(1)＝(3＋7＋4－7－5)5·(3－7＋4＋7－5)5＝25·25＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋…＋a39＋a40∴a0＋a2＋a4＋…＋a40＝25·25＝1024．点评：联想是开启数学思维的一把钥匙．本题首先通过相似联想，把已知等式左边的两个因式与二项式定理相联系，产生了一个错误的思路；进而改变思维．例3：解答：如果视α、β为常数，x为变量，则欲证不等式的左边为两个指数函数的和，问题转化为求函数的值域． β为锐角，∴为锐角．又α＋β＞，∴α＞－β．∴∴即cosβ＜sinα．同理可证，cosα＜sinβ．∴用心爱心专心∴在（0，＋∞）上是减函数．∴故f(x)＜f(0)＝2,即：答案点评：本题虽然含有三个变量α、β、x，但是我们把α、β看作常量，x视为变量，从而构造出了函数它是两个指数函数的和，这就启示我们从研究该函数的单调性入手．解答： a＞b＞c,且a＋b＋c＝0,∴a＜0,c＜0．从而Δ＝4b2－4ac...
