高三数学典型例题解析：第四章 数列VIP免费

第四章数列第四章数列§4.1等差数列的通项与求和一、知识导学1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….3.通项公式：一般地，如果数列｛an｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4.有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.5.无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2ba．我们把Ａ＝2ba叫做ａ和ｂ的等差中项．二、疑难知识导析1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n｝)的函数.2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.3.数列｛an｝的前n项的和Sn与an之间的关系：).2(),1(11nSSnSannn若a1适合an(n>2),则na不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d=d·n+a1-d,an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,na）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为ndandSn)2(212，若令A＝2d，B＝a1－2d，则nS＝An2+Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，nS，n中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和.错解：（1）an=3n+7;(2)1+4+…+（3n－5）是该数列的前n项之和.错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a1=101,显然3n+7不是它的通项.正解：（1）an=3n－2;(2)1+4+…+（3n－5）是该数列的前n－1项的和.[例2]已知数列na的前n项之和为①nnSn22②12nnSn求数列na的通项公式。错解：①34)1()1(2222nnnnnan②nnnnnan21)1()1(122错因：在对数列概念的理解上，仅注意了an＝Sn－Sn-1与的关系，没注意a1=S1.正解：①当1n时，111Sa当2n时，34)1()1(2222nnnnnan经检验1n时11a也适合，34nan②当1n时，311Sa当2n时，nnnnnan21)1()1(122∴nan23)2()1(nn[例3]已知等差数列na的前n项之和记为Sn，S10=10，S30=70，则S40等于。错解：S30=S10·2d.d＝30，S40=S30+d=100.错因：将等差数列中Sm,S2m－Sm,S3m－S2m成等差数列误解为Sm,S2m,S3m成等差数列.正解：由题意：7022930301029101011dada得152,521da代入得S40＝1204023940401da。[例4]等差数列na、nb的前n项和为Sn、Tn.若),(27417NnnnTSnn求77ba；错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.1110277417777ba错因：误认为nnTSnnba正解：79922713411371313777777TSbbaaba[例5]已知一个等差数列na的通项公式an=25－5n，求数列||na的前n项和；错解：由an0得n5na前5项为非负，从第6项起为负，Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)当n6时，Sn=｜a6｜+｜a7｜+｜a8｜+…+｜an｜＝2)5)(520(nnSn=6,2)5)(520(5,50nnnn错因：一、把n5理解为n=5，二、...