开卷速查(二十七)数系的扩充与复数的引入A级基础巩固练1．[2016·泉州模拟]复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：z＝＝＝＋i，显然＞0与－＞0不可能同时成立，则z＝对应的点不可能位于第一象限。答案：A2．[2014·山东]已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝()A．5－4iB．5＋4iC．3－4iD．3＋4i解析：根据已知得a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i。答案：D3．[2014·安徽]设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数。若z＝1＋i，则＋i·＝()A．－2B．－2iC．2D．2i解析：因为z＝1＋i，所以＋i·＝(－i＋1)＋i＋1＝2。答案：C4．[2016·兰州模拟]已知复数z＝(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是纯虚数，则a＝()A．0B．1C．－1D．±1解析：由题意得解得a＝－1。答案：C5．满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝()A.＋iB.－iC．－＋iD．－－i解析：去掉分母，得z＋i＝zi，所以(1－i)z＝－i，解得z＝＝－i，选B。答案：B6.是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i是虚数单位)，则z＝()A．1＋iB．－1－iC．－1＋iD．1－i解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z＋＝2，即(a＋bi)＋(a－bi)＝2，所以2a＝2，解得a＝1。又(z－)i＝2，即[(a＋bi)－(a－bi)]·i＝2，所以bi2＝1，解得b＝－1。所以z＝1－i。答案：D7．[2016·日照模拟]若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2＝________。解析：因为z＝1＋i，所以＝1－i，则z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0。答案：08．在复平面上，复数对应的点到原点的距离为__________。解析：由题意可知复数对应的点到原点的距离为＝＝。答案：9．若复数z满足(1＋2i)z＝|3＋4i|(i为虚数单位)，则复数z等于__________。解析：∵(1＋2i)z＝|3＋4i|＝5，∴z＝＝＝1－2i。答案：1－2i10．已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围。解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2。∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i。由题意得x＝4。∴z＝4－2i。∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i。由于(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，∴解得2＜a＜6。∴实数a的取值范围是(2,6)。B级能力提升练11．[2016·重庆模拟]设z1，z2是复数，则下列命题中假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则1＝2B．若z1＝2，则1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2D．若|z1|＝|z2|，则z＝z解析：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)。选项具体分析结论A.若|z1－z2|＝0，则＝0，所以a＝c，b＝d，即z1＝z2，故1＝2正确B.若z1＝2，则a＝c，b＝－d，所以1＝z2正确C.若|z1|＝|z2|，则a2＋b2＝c2＋d2，所以z1·1＝z2·2正确D.z＝(a2－b2)＋2abi，z＝(c2－d2)＋2cdi，在a2＋b2＝c2＋d2的前提下不能保证a2－b2＝c2－d2,2ab＝2cd错误答案：D12．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，则的最大值为__________。解析：|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2＝3。由图可知max＝＝。答案：13．[2016·临沂模拟]若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根。(1)试求b，c的值；(2)1－i是否是所给方程的根，试给出判断。解析：(1)由于1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个根，则(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，整理得(b＋c－1)＋(2＋b)i＝0，则解得即b＝－2，c＝3。(2)由(1)得方程为x2－2x＋3＝0，把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋3＝1－2i＋2i2－2＋2i＋3＝1－2－2＋3＝0，即1－i满足方程x2－2x＋3＝0，所以1－i是所给方程的根。14．已知关于x的方程：x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b。(1)求实数a，b的值；(2)若复数满足|－a－bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值。解析：(1)因为b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实根，所以(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，所以解得a＝b＝3。(2)设z＝s＋ti(s，t∈R)，其对应点为Z(s，t)，由|－3－3i|＝2|z|，得(s－3)2＋(t＋3)2＝4(s2＋t2)，即(s＋1)2＋(t－1)2＝8，所以Z点的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，2为半径的圆，如图所示，当Z点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值。因为|OO1|＝，半径r＝2，所以当z＝1－i时，|z|有最小值且|z|min＝。
