第九章第五节含绝对值的不等式题组一绝对值不等式的性质及应用1.a，b∈R，给出四个命题①a20的解集为()A．{x|－20，∴当x≥0时，(2－x)(x＋1)>0，即(x－2)(x＋1)<0∴－10，∴x>－1或x<－2又∵x<0，∴－10⇒x<－或x>3，∴B＝{x|x<－或x>3}．结合数轴：∴A∩B＝{x|－1|x－3|.解：法一：|x＋1|>|x－3|，两边平方得(x＋1)2>(x－3)2，∴8x>8，∴x>1.∴原不等式的解集为{x|x>1}．法二：分段讨论当x≤－1时，有－x－1>－x＋3，此时x∈∅；当－1－x＋3，此时13时，有x＋1>x－3成立，∴x>3.∴原不等式解集为{x|x>1}．题组三绝对值不等式的证明6.若a和>均不成立B．不等式>和>均不成立C．不等式>和(a＋)2>(b＋)2均不成立D．不等式>和(a＋)2>(b＋)2均不成立解析：令a＝－2，b＝－1，验证即可．答案：B7．若a，b∈R，则使|a|＋|b|>1成立的一个充分不必要条件是()A．|a＋b|≥1B．|a|≥且|b|≥C．b<－1D．a≥1解析：对A选项，因|a＋b|≤|a|＋|b|且|a＋b|≥1，故|a|＋|b|≥1，即|a＋b|≥1是|a|＋|b|>1成立的非充分条件，不满足题意；对B选项，因|a|≥且|b|≥，故|a|＋|b|≥1，即|a|≥且|b|≥是|a|＋|b|>1成立的非充分条件，不满足题意；对C选项可知：|b|>1，故|a|＋|b|>1，即b<－1是|a|＋|b|>1成立的充分条件，而显然由|a|＋|b|>1推不出b<－1，故C项满足题意；对D选项，因a≥1，故|a|＋|b|≥1，即a≥1是|a|＋|b|>1成立的非充分条件，不满足题意．答案：C题组四绝对值不等式的综合应用28.(2010·福州模拟)已知不等式|a－2x|>x－1，对任意x∈[0,2]恒成立，则a的取值范围为()A．(－∞，1)∪(5，＋∞)B．(－∞，2)∪(5，＋∞)C．(1,5)D．(2,5)解析：当0≤x<1时，不等式|a－2x|>x－1，a∈R；当1≤x≤2时，不等式|a－2x|>x－1，即a－2x<1－x或a－2x>x－1，x>a－1或3x<1＋a，由题意得1>a－1或6<1＋a，a<2或a>5；综上所述，则a的取值范围为(－∞，2)∪(5，＋∞)．答案：B9．若关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥a在R上恒成立，则a的最大值是()A．0B．1C．－1D．2解析：由数形结合知|x－2|＋|x－a|≥|a－2|，∴|a－2|≥a，即a≤1，∴a的最大值为1.答案：B10．已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定义域为[－1,1]，且|f(x)|的最大值为M.(1)试证明|1＋b|≤M；(2)试证明M≥；(3)当M＝时，试求出f(x)的解析式．解：(1)∵M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，M≥|f(1)|＝|1＋a＋b|，2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝2|1＋b|，∴M≥|1＋b|.(2)依题意，M≥|f(－1)|，M≥|f(0)|，M≥|f(1)|，又|f(－1)|＝|1－a＋b|，f(1)|＝|1＋a＋b|，|f(0)|＝|b|，∴4M≥|f(－1)|＋2|f(0)|＋|f(1)|＝|1－a＋b|＋2|b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)－2b＋(1＋a＋b)|＝2，∴M≥.(3)当M＝时，|f(0)|＝|b|≤，－≤b≤①同理－≤1＋a＋b≤②－≤1－a＋b≤③②＋③得－≤b≤－④由①④得b＝－，当b＝－时，分别代入②③得⇒a＝0，因此f(x)＝x2－.3
