第九章第九节空间向量的坐标运算（B）题组一利用空间向量证明平行、垂直问题1.已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，若a∥b，则λ与μ的值分别为()A.，B．－，－C．5,2D．－5，－2解析：a∥b⇔⇒答案：A2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1A解析：如图，以D为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，E(1,1,2)．∴CE�＝(1，－1,2)BD�＝(－2，－2,0)∴CE�·BD�＝0，∴CE�⊥BD�.答案：B题组二利用空间向量求空间角3.(2010·陕西八校)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM�，1DN�〉的值为()A.B.C.D.解析：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，可知CM�＝(2，－2,1)，1DN�＝(2,2，－1)，cos〈CM�，1DN�〉＝－，sin〈CM�，1DN�〉＝.答案：B4．(2009·上海高考)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，1则二面角B1－A1C—C1的大小为________．解析：如图，建立空间直角坐标系．则A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，C1(0,2,2)，设AC的中点为M， BM⊥AC，BM⊥CC1.∴BM⊥平面A1C1C，即CM�＝(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量是n＝(x，y，z)．1AC�＝(－2,2，－2)，11AB�＝(－2,0,0)，∴11120,2220,nABxnACxyz��令z＝1，解得x＝0，y＝1.∴n＝(0,1,1)，设法向量n与CM�的夹角为φ，二面角B1－A1C－C1的大小为θ，显然θ为锐角． cosθ＝|cosφ|＝nBMnBM��＝，解得θ＝.∴二面角B1－A1C－C1的大小为.答案：题组三利用空间向量求距离问题5.在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示．则点B到平面CMN的距离为________．解析：取AC中点O，连接OS、OB. SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO. 平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.2如图所示，建立空间直角坐标系O－xyz，则B(0,2，0)，C(－2,0,0)，S(0,0,2)，M(1，，0)，N(0，，)．∴CM�＝(3，，0)，MN�＝(－1,0，)．MB�＝(－1，，0)．设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则330,20,CMnxyMNnxz��取z＝1，则x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)．∴点B到平面CMN的距离d＝nMBn�＝.答案：6．已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；(2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；(3)当的值为多少时，二面角B－SC－D的大小为120°？解：(1)证明： SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴SA⊥BD， 四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴BD⊥平面SAC， BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC.(2)设AC∩BD＝F，连结SF，则SF⊥BD， AB＝2，SA＝4，∴BD＝2，SF＝＝＝3，∴S△SBD＝BD·SF＝·2·3＝6，设点A到平面SBD的距离为h， SA⊥平面ABCD，∴·S△SBD·h＝·S△ABD·SA，∴6·h＝·2·2·4，∴h＝，即点A到平面SBD的距离为.(3)设SA＝a，以A为原点，AB、AD、AS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，为计算方便，不妨设AB＝1，则C(1,1,0)，S(0,0，a)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，∴SN�＝(1,1，－a)，SB�＝(1,0，－a)，SD�＝(0,1，－a)，再设平面SBC、平面SCD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，3则11111110,0,nSCxyaznSBxaz��∴y1＝0，从而可取x1＝a，则z1＝1，∴n1＝(a,0,1)，22222220,0,nSCxyaznSDxaz��∴x2＝0，从而可取y2＝a，则z2＝1，∴n2＝(0，a,1)，∴cos〈n1，n2〉＝，要使二面角B－SC－D的大小为120°，则＝，从而a＝1，即当＝＝1时，二面角B－SC－D的大小为120°.题组四综合问题7.(2010·皖南八校联考)如图所示，已知四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且DD1⊥底面ABCD，AB＝...
