专题14推理与证明、新定义一.基础题组1.【2011上海,理14】已知点O(0,0)、Q0(0,1)和点R0(3,1),记Q0R0的中点为P1,取Q0P1和P1R0中的一条,记其端点为Q1、R1,使之满足(|OQ1|-2)(|OR1|-2)<0,记Q1R1的中点为P2,取Q1P2和P2R1中的一条,记其端点为Q2、R2,使之满足(|OQ2|-2)(|OR2|-2)<0,依次下去,得到P1,P2,…,Pn,…,则0limnnQP______.【答案】32.(2009上海,理13)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)___________为发行站,使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.【答案】(3,3)3.【2007上海,理9】若,ab为非零实数,则下列四个命题都成立:①10aa②2222abaabb③若ab,则ab④若2aab,则ab。则对于任意非零复数,ab,上述命题仍然成立的序号是_____。4.【2006上海,理10】如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是.【答案】36二.能力题组1.【2010上海,理22】(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分10分.若实数x、y、m满足mymx,则称x比y远离m.(1)若21x比1远离0,求x的取值范围;(2)对任意两个不相等的正数a、b,证明:33ab比22abab远离2abab;(3)已知函数()fx的定义域|,,24kDxxkZxR.任取xD,()fx等于xsin和xcos中远离0的那个值.写出函数()fx的解析式,并指出它的基本性质(结论不要求证明).【答案】(1)(2)(3)【点评】本题给人耳目一新的感觉,问题的表述比较陌生,提问方式新颖,考生需要较强的数学理解和化归能力,对考生的综合数学能力要求较高.但认真分析一下就会有“他乡遇故知”的感觉——函数与不等式的综合.2.【2006上海,理16】如图,平面中两条直线1l和2l相交于点O,对于平面上任意一点M,若p、q分别是M到直线1l和2l的距离,则称有序非负实数对(p,q)是点M的“距离坐标”.已知常数p≥0,q≥0,给出下列命题:①若p=q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个;②若pq=0,且p+q≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有2个;③若pq≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有4个.上述命题中,正确命题的个数是[答]()(A)0;(B)1;(C)2;(D)3.【答案】D3.【2005上海,理22】(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分.在直角坐标平面中,已知点1(1,2)P,22(2,2)P,33(3,2)P,…,(,2)nnPn,其中n是正整数.对平面上任一点0A,记1A为0A关于点1P的对称点,2A为1A关于点2P的对称点,……,nA为1nA关于点nP的对称点.(1)求向量02AA�的坐标;(2)当点0A在曲线C上移动时,点2A的轨迹是函数()yfx的图象,其中()fx是以3为周期的周期函数,且当0,3x时,()lgfxx,求以曲线C为图象的函数在1,4的解析式;(3)对任意偶数n,用n表示向量0nAA�的坐标1l2lOM(,)【答案】(1)(2,4);(2)()lg(1)4gxx;(3)4(21)(,)3nn三.拔高题组1.【2014上海,理22】(本题满分16分)本题共3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.在平面直角坐标系xoy中,对于直线l:0axbyc和点),,(),,(22211yxPyxPi记1122)().axbycaxbyc(若<0,则称点21,PP被直线l分隔.若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点21PP,被直线l分隔,则称直线l为曲线C的一条分隔线.⑴求证:点),(),(012,1BA被直线01yx分隔;⑵若直线kxy是曲线1422yx的分隔线,求实数k的取值范围;⑶动点M到点)(2,0Q的距离与到y轴的距离之积为1,设点M的轨迹为E,求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E的分割线.【答案】(1)证明见解析;(2)11(,][,)22k;(3)证明见解析.【考点】新定义,直线与曲线的公...