专题能力训练11等差数列与等比数列一、能力突破训练1.在等差数列{an}中,a4+a10+a16=30,则a18-2a14的值为()A.20B.-20C.10D.-102.在各项均为正数的等比数列{an}中,若log2(a2·a3·a5·a7·a8)=5,则a1·a9=()A.4B.5C.2D.253.设{an}是等比数列,Sn是{an}的前n项和.对任意正整数n,有an+2an+1+an+2=0,又a1=2,则S101的值为()A.2B.200C.-2D.04.已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>05.已知数列{an}满足,且a2=2,则a4等于()A.-B.23C.12D.116.已知各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=40,则a3·a8的最大值为.7.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为.8.设x,y,z是实数,若9x,12y,15z成等比数列,且成等差数列,则=.9.已知Sn为数列{an}的前n项和,且a2+S2=31,an+1=3an-2n(n∈N*).(1)求证:{an-2n}为等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.10.(2018全国Ⅱ,理17)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.11.已知数列{an}是等比数列.设a2=2,a5=16.(1)若a1+a2+…+a2n=t(+…+),n∈N*,求实数t的值;(2)若在之间插入k个数b1,b2,…,bk,使得,b1,b2,…,bk,成等差数列,求k的值.二、思维提升训练12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.11013.若数列{an}为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=+…+等于()A.1-B.C.1-D.14.已知等比数列{an}的首项为,公比为-,其前n项和为Sn,若A≤Sn-≤B对n∈N*恒成立,则B-A的最小值为.15.无穷数列{an}由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和,若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为.16.等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,=9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列的前n项和.17.若数列{an}是公差为正数的等差数列,且对任意n∈N*有an·Sn=2n3-n2.(1)求数列{an}的通项公式.(2)是否存在数列{bn},使得数列{anbn}的前n项和为An=5+(2n-3)2n-1(n∈N*)?若存在,求出数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn;若不存在,请说明理由.专题能力训练11等差数列与等比数列一、能力突破训练1.D解析因为a4+a10+a16=30,所以3a10=30,即a10=10,所以a18-2a14=-a10=-10.故选D.2.A解析由题意得log2(a2·a3·a5·a7·a8)=log2=5log2a5=5,所以a5=2.所以a1·a9==4.故选A.3.A解析设公比为q, an+2an+1+an+2=0,∴a1+2a2+a3=0,∴a1+2a1q+a1q2=0,∴q2+2q+1=0,∴q=-1.又a1=2,∴S101==2.4.B解析设{an}的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d. a3,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0. d≠0,∴a1d=-d2<0,且a1=-d. dS4==2d(2a1+3d)=-d2<0,故选B.5.D解析由已知得=2,则{an+1}是公比为2的等比数列,所以a4+1=(a2+1)·22=12.所以a4=11.故选D.6.16解析因为S10==40⇒a1+a10=a3+a8=8,a3>0,a8>0,所以a3·a8=16,当且仅当a3=a8=4时取等号.7.64解析由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,两式相除得,解得q=,a1=8,所以a1a2…an=8n,抛物线f(n)=-n2+n的对称轴为n=-=3.5,又n∈N*,所以当n=3或4时,a1a2…an取最大值为=26=64.8解析由题意知解得xz=y2=y2,x+z=y,从而-2=-2=9.(1)证明由an+1=3an-2n可得an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-3·2n=3(an-2n).又a2=3a1-2,则S2=a1+a2=4a1-2,得a2+S2=7a1-4=31,得a1=5,则a1-21=3≠0.故{an-2n}为等比数列.(2)解由(1)可知an-2n=3n-1(a1-2)=3n,∴an=2n+3n,∴Sn==2n+1+10.解(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.11.解设等比数列{an}的公比为q,由a2=2,a5=16,得q=2,a1=1.(1) a1+a2+…+a2n=t(+…+),=t,即=t对n∈N*都成立,∴t=3.(2)=...
