专题44举重若轻-----立体几何问题的空间向量方法(II)【热点聚焦与扩展】利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点,内容以解答题中的一问为主,主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题,以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向.空间的角与距离的计算(特别是角的计算)是高考热点,一般以大题的条件或一小问形式呈现,考查用向量方法解决立体几何问题,将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系,并通过计算解决立体几何问题.距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查.此类问题往往属于“证算并重”题,即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系,第二问则通过建立空间直角坐标系,利用空间向量方法进一步求角或距离.本专题通过例题重点说明利用空间向量求角和距离、存在性问题的方法与技巧.(一)空间向量可解决的立体几何问题(用表示直线的方向向量,用表示平面的法向量)1、判定(证明)类(1)线面平行:(2)线面垂直:(3)面面平行:(4)面面垂直:2、计算类:(1)两直线所成角:(2)线面角:(3)二面角:或(视平面角与法向量夹角关系而定)(4)点到平面距离:设为平面外一点,为平面上任意一点,则到平面的距离为,即在法向量上投影的绝对值.(二)点的存在性问题:在立体几何解答题中,最后一问往往涉及点的存在性问题,即是否在某条线上存在一点,使之满足某个条件,本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧1、理念:先设再求——先设出所求点的坐标,再想办法利用条件求出坐标2、解题关键:减少变量数量——可表示空间中的任一点,但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的,所以使用三个变量比较“浪费”(变量多,条件少,无法求解),要考虑减少变量的个数,最终所使用变量的个数可根据如下条件判断:(1)直线(一维)上的点:用一个变量就可以表示出所求点的坐标(2)平面(二维)上的点:用两个变量可以表示所求点坐标规律:维度=所用变量个数3、如何减少变量:(1)直线上的点(重点):平面向量共线定理——若使得例:已知,那么直线上的某点坐标可用一个变量表示,方法如下:——三点中取两点构成两个向量因为在上,所以——共线定理的应用(关键),即——仅用一个变量表示(2)平面上的点:平面向量基本定理——若不共线,则平面上任意一个向量,均存在,使得:例:已知,则平面上的某点坐标可用两个变量表示,方法如下:,故,即(三)方法与技巧1.两条异面直线所成的角①定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角.②范围:两异面直线所成角θ的取值范围是.③向量求法:设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为φ,则有.2.直线和平面所成角的求法:如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sinφ=|cosθ|=.3.求二面角的大小(1)如图1,AB、CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=〈,〉.(2)如图2、3,分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小(或).4.点面距的求法如图,设AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离d=.【经典例题】例1.如图,正四面体中,、分别是棱和的中点,则直线和所成的角的余弦值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】如图所示,作AO⊥底面BCD,垂足为O,O为底面等边△BCD的中心,建立空间直角坐标系.不妨取CD=2.则:,利用空间向量求解余弦值有:.∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为.例2.【2017江苏,22】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B-A1D-A的正弦值.【答案】(1)(2)例3.如图,在长方体中,,,、分别是、的中点.证明、、、四点共面,并求直线与平面所成的角的正弦值大小.【答案】【解析】解:如图,以为原点建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为、、、、、.取,得平面的一个法向量.又,故....