专题35等比数列问题探究【热点聚焦与扩展】等比数列的性质、通项公式和前n项和公式构成等比数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等差数列等其它知识内容综合考查的情况．选择题、填空题、解答题多种题型加以考查．1、定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列2、等比数列通项公式：，也可以为：3、等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项（1）若为的等比中项，则有（2）若为等比数列，则，均为的等比中项（3）若为等比数列，则有4、等比数列前项和公式：设数列的前项和为当时，则为常数列，所以当时，则可变形为：，设，可得：5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列，则有①数列（为常数）为等比数列②数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列③数列为等比数列④数列为等比数列6、相邻项和的比值与公比相关：设，则有：特别的：若，则成等比数列7、等比数列的判定：（假设不是常数列）（1）定义法（递推公式）：（2）通项公式：（指数类函数）（3）前项和公式：x-k/w注：若，则是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于，均有8、非常数等比数列的前项和与前项和的关系，因为是首项为，公比为的等比数列，所以有9、等差数列性质与等比数列性质：等差数列等比数列递推公式通项公式等差（比）中项等间隔抽项仍构成等差数列仍构成等比数列相邻项和成等差数列成等比数列10、等差数列与等比数列的互化：（1）若为等差数列，，则成等比数列证明：设的公差为，则为一个常数所以成等比数列（2）若为正项等比数列，，则成等差数列证明：设的公比为，则为常数所以成等差数列【经典例题】例1.【2017课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论.例2.【2018届河北省衡水金卷一模】已知等比数列中，，，则（）A.B.-2C.2D.4【答案】C点睛：等比数列中，若，则；等差数列中，若，则.例3.【2018届2018届江西省景德镇市第一中学等盟校第二次联考】已知等比数列的前项和是，则下列说法一定成立的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】分析：由，可得，分当时，当时，当时和时，由不等式的性质均可得到.详解：当时，，又当时，，点睛：本题考查等比数列的通项公式与求和公式以及不等式的性质，意在考查分类讨论思想与计算能力，属于中档题.例4.【2017课标3，理9】等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为A．B．C．3D．8【答案】A【解析】例5.【2018年4月2018届高三第二次全国大联考】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地，请问第天比第天多走A.12里B.24里C.36里D.48里【答案】C【解析】设第天走了里，其中．由题意可知成等比数列，公比，且，解得，所以，，所以，故第天比第天多走里．故选C．例6.【2018届河南省名校压轴第二次考试】在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列进行“扩展”，第一次得到数列；第二次得到数列；….设...
