专题31数形结合之----简单线性规划【热点聚焦与扩展】从考纲和考题中看,该部分内容难度不大,重点考查目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题,或在目标函数的最值已知的条件下确定参数的值,命题形式以选择、填空为主,但也有解答题以应用题的形式出现.本专题重点说明利用数形结合法解答此类问题.(一)简单线性规划问题1、相关术语:(1)线性约束条件:关于变量的一次不等式(或方程)组(2)可行解:满足线性约束条件的解(3)可行域:所有可行解组成的集合(4)目标函数:关于的函数解析式(5)最优解:是目标函数取得最大值或最小值的可行解2、如何在直角坐标系中作出可行域:(1)先作出围成可行域的直线,利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点(比如坐标轴上的点),以便快速做出直线(2)如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧:一条曲线(或直线)将平面分成若干区域,则在同一区域的点,所满足不等式的不等号方向相同,所以可用特殊值法,利用特殊点判断其是否符合不等式,如果符合,则该特殊点所在区域均符合该不等式,具体来说有以下三种情况:①竖直线或水平线:可通过点的横(纵)坐标直接进行判断②一般直线:可代入点进行判断,若符合不等式,则原点所在区域即为不等式表示区域,否则则为另一半区域.例如:不等式,代入符合不等式,则所表示区域为直线的右下方③过原点的直线:无法代入,可代入坐标轴上的特殊点予以解决,或者利用象限进行判断.例如::直线穿过一、三象限,二、四象限分居直线两侧.考虑第四象限的点,所以必有,所以第四象限所在区域含在表示的区域之中.(3)在作可行域时要注意边界是否能够取到:对于约束条件(或)边界不能取值时,在图像中边界用虚线表示;对于约束条件(或)边界能取值时,在图像中边界用实线表示3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤(1)根据约束条件,在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域(2)确定目标函数在式子中的几何意义,常见的几何意义有:(设为常数)①线性表达式——与纵截距相关:例如,则有,从而的取值与动直线的纵截距相关,要注意的符号,若,则的最大值与纵截距最大值相关;若,则的最大值与纵截距最小值相关.②分式——与斜率相关(分式):例如:可理解为是可行域中的点与定点连线的斜率.③含平方和——与距离相关:例如:可理解为是可行域中的点与定点距离的平方.(3)根据的意义寻找最优解,以及的范围(或最值)4、线性目标函数影响最优解选取的要素:当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同时,目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的选取.(1)在斜率符号相同的情况下:越大,则直线越“陡”(2)在作图和平移直线的过程中,图像不必过于精确,但斜率符号相同的直线之间,陡峭程度要与斜率绝对值大小关系一致,这样才能保证最优解选取的准确(3)当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时,有可能达到最值的最优解有无数多个(位于可行域的边界上)(4)当目标函数的斜率含参时,涉及到最优解选取的分类讨论,讨论通常以约束条件中同符号的斜率作为分界点.(二)非常规线性规划问题解答策略第一依然要借助可行域及其图形;第二,要确定参数的作用,让含参数的图形运动起来寻找规律;第三,要能将图形中的特点与关系翻译成代数的语言,并进行精确计算.【经典例题】例1.【2017课标II,理5】设,满足约束条件,则的最小值是()A.B.C.D.【答案】A【解析】例2.【2017课标3,理13】若,满足约束条件,则的最小值为__________.【答案】【解析】【名师点睛】求线性目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,当b>0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴截距最小时,z值最小;当b<0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大.例3.【2018年5月2018届高三第三次全国大联考】已知实数,满足约束条件,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示,易知表示可行域内的点到点的距离的平方,所以.故选A.例4.【2018年5月2018届高三第三次...