专题36数列求和问题【热点聚焦与扩展】数列求和问题是高考数列中的一个易考类型,在已知通项公式的前提下,要通过观察通项公式(或者项)的特点决定选择哪种方法进行求和.考查学生的观察能力与辨析能力.本专题举例说明常见几种类型的求和方法.1、根据通项公式的特点求和:(1)等差数列求和公式:(2)等比数列求和公式:(3)错位相减法:通项公式特点:等差等比,比如,其中代表一个等差数列的通项公式(关于的一次函数),代表一个等比数列的通项公式(关于的指数型函数),那么便可以使用错位相减法方法详解:以为例,设其前项和为①先将写成项和的形式②两边同时乘以等比部分的公比,得到一个新的等式,与原等式上下排列,发现乘完公比后,对比原式项的次数,新等式的每项向后挪了一位.③然后两式相减:除了首项与末项,中间部分呈等比数列求和特点,代入公式求和,再解出即可所以对“错位相减法”的深层理解:通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用?通过解题过程我们可以发现:等比的部分使得每项的次数逐次递增,才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果.而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致(其系数即为等差部分的公差),从而可圈在一起进行等比数列求和.体会到“错位”与“相减”所需要的条件,则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和(4)裂项相消:通项公式特点:的表达式能够拆成形如的形式(),从而在求和时可以进行相邻项(或相隔几项)的相消.从而结果只存在有限几项,达到求和目的.其中通项公式为分式和根式的居多.常见的裂项技巧:①;②;③;④;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,一般来说,裂开的项中有个正项,个负项,且由于消项的过程中是成对消掉.所以保留项中正负的个数应该相同.(5)分类(组)求和:如果通项公式是前几种可求和形式的和与差,那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后,再将结果进行相加.例:可知通项公式为,那么在求和的过程中可拆成3部分:分别求和后再相加2、根据项的特点求和:如果数列无法求出通项公式,或者无法从通项公式特点入手求和,那么可以考虑观察数列中的项,通过合理的分组进行求和(1)利用周期性求和:如果一个数列的项按某个周期循环往复,则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和,再统计前项和中含多少个周期即可(2)通项公式为分段函数(或含有,多为奇偶分段.若每段的通项公式均可求和,则可以考虑奇数项一组,偶数项一组分别求和,但要注意两点:一是序数的间隔(等差等比求和时会影响公差公比),二是要对项数的奇偶进行分类讨论(可见典型例题);若每段的通项公式无法直接求和,则可以考虑相邻项相加看是否存在规律,便于求和(3)倒序相加:若数列中的第项与倒数第项的和具备规律,在求和时可以考虑两项为一组求和,如果想避免项数的奇偶讨论,可以采取倒序相加的特点,即:两式相加可得:【经典例题】例1.【2017课标II,理15】等差数列的前项和为,,,则。【答案】【解析】【名师点睛】等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题。数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法。使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.例2.【2018届辽宁省沈阳市监测一】在推导等差数列前项和的过程中,我们使用了倒序相加的方法,类比可求得__________.【答案】44.5【解析】令,则:,两式相加可得:,故:,即.例3.【2018年4月2018届高三第二次全国大联考】已知等差数列是单调增数列,且是方程的两个根.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若,求数列的前项和.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,所以.例4.【20...