备战高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题36 数列求和问题-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题36数列求和问题【热点聚焦与扩展】数列求和问题是高考数列中的一个易考类型，在已知通项公式的前提下，要通过观察通项公式（或者项）的特点决定选择哪种方法进行求和.考查学生的观察能力与辨析能力.本专题举例说明常见几种类型的求和方法.1、根据通项公式的特点求和：（1）等差数列求和公式：（2）等比数列求和公式：（3）错位相减法：通项公式特点：等差等比，比如，其中代表一个等差数列的通项公式（关于的一次函数），代表一个等比数列的通项公式（关于的指数型函数），那么便可以使用错位相减法方法详解：以为例，设其前项和为①先将写成项和的形式②两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列，发现乘完公比后，对比原式项的次数，新等式的每项向后挪了一位.③然后两式相减：除了首项与末项，中间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出即可所以对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果.而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和.体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和（4）裂项相消：通项公式特点：的表达式能够拆成形如的形式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消.从而结果只存在有限几项，达到求和目的.其中通项公式为分式和根式的居多.常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，一般来说，裂开的项中有个正项，个负项，且由于消项的过程中是成对消掉.所以保留项中正负的个数应该相同.(5）分类（组）求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加.例：可知通项公式为，那么在求和的过程中可拆成3部分：分别求和后再相加2、根据项的特点求和：如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前项和中含多少个周期即可（2）通项公式为分段函数（或含有，多为奇偶分段.若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和（3）倒序相加：若数列中的第项与倒数第项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，即：两式相加可得：【经典例题】例1.【2017课标II，理15】等差数列的前项和为，，，则。【答案】【解析】【名师点睛】等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.例2.【2018届辽宁省沈阳市监测一】在推导等差数列前项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得__________．【答案】44.5【解析】令，则：，两式相加可得：,故：，即.例3.【2018年4月2018届高三第二次全国大联考】已知等差数列是单调增数列，且是方程的两个根．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以．例4.【20...