专题21三角函数的图象和性质【热点聚焦与扩展】近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与图象和性质结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中低档为主，重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法，其中对函数的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质：（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；http://www.zk5u.com/（3）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期.1、正弦函数的性质（1）定义域：（2）值域：（3）周期：（4）对称轴（最值点）：（5）对称中心（零点）：，其中是对称中心，故也是奇函数（6）单调增区间：单调减区间：2、余弦函数的性质（1）定义域：（2）值域：（3）周期：（4）对称轴（最值点）：其中是对称轴，故也是偶函数（5）对称中心（零点）：（6）单调增区间：,单调减区间：3、正切函数的性质（1）定义域：（2）值域：（3）周期：（4）对称中心：（5）零点：（6）单调增区间：注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的的值4、的性质：与正弦函数相比，其图像可以看做是由图像变换得到（轴上方图像不变，下方图像沿轴向上翻折），其性质可根据图像得到：（1）定义域：（2）值域：（3）周期：（4）对称轴：（5）零点：（6）单调增区间：,单调减区间：5、的性质：此类函数可视为正弦函数通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下：（1）定义域：（2）值域：（3）周期：（4）对称轴（最值点），对称中心（零点），单调区间需通过换元计算所求。通常设，其中，则函数变为，在求以上性质时，先利用正弦函数性质与图像写出所满足的条件，然后将还原为再解出的值（或范围）即可注：1、余弦函数也可看做的形式，即，所以其性质可通过计算得到。2、对于某些解析式的性质（如对称轴，单调区间等）可根据解析式的特点先变形成为，再求其性质【经典例题】例1.【2017课标II，文3】函数的最小正周期为（）A.B.C.D.【答案】C例2.【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为−2πB．y=f(x)的图像关于直线x=对称C．f(x+π)的一个零点为x=D．f(x)在(,π)单调递减【答案】D【解析】例3.已知函数的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是()①函数的最小正周期是；②函数在区间上是增函数；③函数的图象关于直线对称；④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到A.3B.2C.1D.0【答案】C【解析】根据函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象知，=−(−)=,∴T==π，ω=2；根据五点法画图知,2×(−)+φ=0,解得φ=；∴f(x)=sin(2x+)；对于①,函数f(x)的最小正周期是T=π，①错误；对于②,x∈[,]时,2x+∈[,]，f(x)在[,]上是减函数，②错误；对于③,x=时,2x+=，∴函数f(x)的图象关于直线x=对称，③正确；对于④,由f(x)=sin(2x+)=sin2(x+)知，函数f(x)的图象可由函数g(x)=sin2x的图象向左平移个单位长度得到，④错误；综上，正确的命题是③.故选：C.例4.【2017天津，文理】设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（A），（B），（C），（D），【答案】例5.【2017课标II，理14】函数（）的最大值是.【答案】1【解析】【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.例6.已知函数f(x)=cos-2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.【答案】（1）；（2）见解析.(2)证明因为-≤x≤,所以-≤2x+.————-10分所以sin≥sin=-.所以当x∈时,f(x)≥-.________14分例7.设函数．（）求...
