专题19利用函数模型解决实际问题【热点聚焦与扩展】在近几年的高考试卷中,以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势.注重在知识的交汇点命题,与三角函数、解三角形、不等式、导数、解析几何、概率统计、数列等相结合,综合考查函数方程思想及数学应用意识,考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用;考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力.1、使用函数模型解决实际问题(1)题目特点:叙述中体现两个变量之间的关系(涉及的量也许有多个,但均能够用两个核心变量进行表示).以其中一个为自变量,则另一个变量可视为自变量的函数,进而搭建出函数模型,再根据导数,均值不等式等工具求出最值(2)需用到的数学工具与知识点:①分段函数:当自变量的不同取值导致解析式不同时,可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系,在题目中若有多种情况,且不同的情况对应不同的计算方式,则通常要用分段函数进行表示.②导数:在求最值的过程中,若函数解析式不是常见的函数(二次函数,对勾函数等),则可利用导数分析其单调性,进而求得最值③均值不等式:在部分解析式中(可构造和为定值或积为定值)可通过均值不等式迅速的找到最值.④分式函数的值域问题:可通过分离常数对分式进行变形,并利用换元将其转化为熟悉的函数求解(3)常见的数量关系:①面积问题:可通过寻底找高进行求解,例如:平行四边形面积底高梯形面积(上底下底)高三角形面积底高②商业问题:总价单价数量利润营业额成本货物单价数量成本③利息问题:利息本金利率本息总和本金利息本金利率本金(4)在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符,例如:涉及到个数时,变量应取正整数.涉及到钱,速度等问题,变量的取值应该为正数.2、使用线性规划模型解决实际问题(1)题目特点:叙述中也有两个核心变量,但条件多为涉及两核心变量的不等关系,且所求是关于两个核心变量的表达式,这类问题通常使用线性规划模型来解决问题(2)与函数模型的不同之处①函数模型:体现两核心变量之间的等量关系,根据一个变量的范围求另一个变量的范围(或最值)②线性规划模型:体现关于两变量的不等关系,从而可列出不等式组,要解决的是含两个变量的表达式的最值.(3)解题步骤:根据题目叙述确定未知变量(通常选择两个核心变量,其余变量用这两个进行表示),并列出约束条件和目标函数,然后利用数形结合的方式进行解决(4)注意事项:在实际问题中,变量的取值有可能为整数,若最优解不是整数,则可在最优解附近寻找几对整点,代入到目标函数中并比较大小3、使用三角函数模型解决实际问题(1)题目特点:题目以几何图形(主要是三角形)作为基础,条件多与边角相关(2)需要用到的数学工具与知识点:①正弦定理:设三边所对的角分别为,则有②余弦定理(以和对角为例),③三角函数表达式的化简与变形④函数的值域(3)解题技巧与注意事项:①在求边角问题时,应把所求的边或角放在合适的三角形中②在直角三角形里,已知一条边,则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示③在图形中要注意变量的取值范围【经典例题】例1.【2018届上海市松江、闵行区高三下学期(二模)】某公司利用线上、实体店线下销售产品,产品在上市天内全部售完.据统计,线上日销售量、线下日销售量(单位:件)与上市时间天的关系满足:,产品每件的销售利润为(单位:元)(日销售量线上日销售量线下日销售量).(1)设该公司产品的日销售利润为,写出的函数解析式;(2)产品上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于元?【答案】(1)(2)第5天至第15天该公司日销售利润不低于元.【解析】试题分析:(1)由题意分类讨论,分别求得销售量,然后与相应的利润相乘可得利润函数的解析式为(2)结合(1)中的利润函数分类讨论求解二次不等式可得第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元.综上可得:(2)当时,由,解得;当时,由,解得;当时,由,无解.故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元.点睛:(1)很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式给出,这时就需要构建分段函数模型...