专题19利用函数模型解决实际问题【热点聚焦与扩展】在近几年的高考试卷中，以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势．注重在知识的交汇点命题，与三角函数、解三角形、不等式、导数、解析几何、概率统计、数列等相结合，综合考查函数方程思想及数学应用意识，考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用；考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力.1、使用函数模型解决实际问题（1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表示）.以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值（2）需用到的数学工具与知识点：①分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示.②导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则可利用导数分析其单调性，进而求得最值③均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找到最值.④分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函数求解（3）常见的数量关系：①面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如：平行四边形面积底高梯形面积（上底下底）高三角形面积底高②商业问题：总价单价数量利润营业额成本货物单价数量成本③利息问题：利息本金利率本息总和本金利息本金利率本金（4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变量应取正整数.涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数.2、使用线性规划模型解决实际问题（1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题（2）与函数模型的不同之处①函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围（或最值）②线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变量的表达式的最值.（3）解题步骤：根据题目叙述确定未知变量（通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进行表示），并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决（4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小3、使用三角函数模型解决实际问题（1）题目特点：题目以几何图形（主要是三角形）作为基础，条件多与边角相关（2）需要用到的数学工具与知识点：①正弦定理：设三边所对的角分别为，则有②余弦定理（以和对角为例），③三角函数表达式的化简与变形④函数的值域（3）解题技巧与注意事项：①在求边角问题时，应把所求的边或角放在合适的三角形中②在直角三角形里，已知一条边，则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示③在图形中要注意变量的取值范围【经典例题】例1．【2018届上海市松江、闵行区高三下学期（二模）】某公司利用线上、实体店线下销售产品，产品在上市天内全部售完.据统计，线上日销售量、线下日销售量（单位：件）与上市时间天的关系满足：，产品每件的销售利润为(单位：元)（日销售量线上日销售量线下日销售量）.（1）设该公司产品的日销售利润为，写出的函数解析式；（2）产品上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于元？【答案】(1)(2)第5天至第15天该公司日销售利润不低于元.【解析】试题分析：（1）由题意分类讨论，分别求得销售量，然后与相应的利润相乘可得利润函数的解析式为（2）结合(1)中的利润函数分类讨论求解二次不等式可得第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元.综上可得：（2）当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，无解.故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元.点睛：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型...
