高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算达标训练 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

2.3.2平面向量的坐标表示及运算2.3.3平面向量的坐标运算更上一层楼基础•巩固1.若向量a=(3，2)，b=(0，-1)，则向量2b-a的坐标是()A.(3，-4)B.(-3，4)C.(3，4)D.(-3，-4)思路分析:2b-a=2(0，-1)-(3，2)=(0，-2)-(3，2)=(-3，-4).答案:D2.设a=(-1，2)，b=(-1，1)，c=(3，-2)，用a、b作基底，可将向量c表示为c=pa+qb，则()A.p=4，q=1B.p=1，q=-4C.p=0，q=4D.p=1，q=4思路分析:由(3，-2)=p(-1，2)+q(-1，1)=(-p-q，2p+q)，所以.解得p=1，q=-4.答案:B3.已知ABCD中，=(3，7)，=(-2，3)，对角线AC、BD交于点O，则的坐标为()A.(，5)B.(，5)C.(，-5)D.(，-5)思路分析:如图所示，=+=(-2，3)+(3，7)=(1，10).∴==(，5).∴=(-，-5).答案:C4.平面直角坐标系中，O为坐标原点.已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为()A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0思路分析:设C(x，y)，=(x，y)，由=α+β，∴=(x，y)=α(3，1)+β(-1，3)=(3α-β，α+3β).∴又∵α+β=1，β=1-α,代入①②得③+2×④整理得x+2y-5=0.这就是C点的轨迹方程.答案:D5.已知边长为单位长的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴的正向上，则向量2+3+的坐标为_________.思路分析:根据题意建立坐标系如图.则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1).∴=(1，0)，=(0，1)，=(1，1).∴2+3+=(2，0)+(0，3)+(1，1)=(3，4).答案:(3，4)综合•应用6.若对n个向量a1，a2，…，an，存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立，则称向量a1，a2，…，an为“线性相关”.依此规定，能说明a1=(1，0)，a2=(1，-1)，a3=(2，2)“线性相关”的实数k1、k2、k3依次可以取_______.(写出一组数值即可，不必考虑所有情况)思路分析:据题意，可知k1a1+k2a2+k3a3=0，即k1(1，0)+k2(1，-1)+k3(2，2)=(0，0).∴令k2=2，则k3=1，k1=-4.答案:-4，2，17.已知A(-1，2)，B(2，8)，=3，=-3，求点C、D和向量的坐标.解：∵=(2，8)-(-1，2)=(3，6)，∴=3=(9，18).∴=+=(-1，2)+(9，18)=(8，20)，即C点坐标为(8，20).又=-3=-3(-3，-6)=(9，18)，∴=(-1，2)-(9，18)=(-10，-16)，即D点坐标为(-10，-16).=(-10，-16)-(8，20)=(-18，-36).8.如图2-3-23,已知O是△ABC内一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°.设=a，=b，=c，且|a|=2，|b|=1，|c|=3，试用a和b表示c.图2-3-23解：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系.由||=2，∴=(2，0).由∠AOB=150°，根据三角函数的定义可求出B点坐标xB=1·cos150°=，yB=，∴B()，即=().同理,∠AOC=150°+90°=240°，∴xC=3×cos240°=，yC=3×sin240°=.∴C(，)，即=(，).设=m+n，则(，)=m(2，0)+n(，)，得解得∴，即c=-3a-b.9.如图2-3-24，已知平面上三点A、B、C的坐标分别为(-2，1)、(-1，3)、(3，4)，求点D的坐标，使得这四点能构成平行四边形的四个顶点.图2-3-24思路分析:本题没有指明所构成的平行四边形的顶点顺序，故应分三种情形分别求解.答案:(1)当平行四边形为ABCD时，因为=，所以，(4，1)=(x+2，y-1).所以x=2，y=2，即D(2，2).(2)当平行四边形为ACDB时，因为=，所以，(-1，-2)=(3-x，4-y).所以x=4，y=6，即D(4，6).(3)当平行四边形为DACB时，因为=，所以，(-2-x，1-y)=(4，1).所以x=-6，y=0，即D(-6，0).回顾•展望10.已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及=+t，求：(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限?(2)四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.思路分析:首先把向量表示为坐标的形式，再利用点在x轴上、y轴上、第二象限内的特征，得到坐标的条件；要看四边形OABP能否构成平行四边形，就要看能否找到t，使，即对边所在的直线平行.解:(1)=(1+3t，2+3t).若P在x轴上，只需2+3t=0，所以t=.若P在y轴上，只需1+3t=0，所以t=-.若P在第二象限，只需∴.(2)因为=(1，2)，=(3-3t，3-3t)，若OABP为平行四边形，则=.由于无解，故四边形OABP不能构成平行四边形.