第九章单元质量评估一、单项选择题(每小题5分，共40分)1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若∠A＝60°，c＝2，b＝1，则a＝(B)A．1B.C．2D．3解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋4－2×1×2×＝3，从而a＝.2．△ABC中，a＝2，∠A＝30°，∠C＝45°，则S△ABC＝(C)A.B．2C.＋1D.(＋1)解析： ∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝105°，且sin105°＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝.又由正弦定理：c＝＝＝2.∴S△ABC＝acsinB＝1＋.3．在△ABC中，已知三边a，b，c满足a2－ab＝c2－b2，则∠C等于(A)A.B.C.D.解析：由已知得a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝，故∠C＝.故选A.4．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(B)A．5B.C．2D．1解析：由题意可得AB·BC·sinB＝，又AB＝1，BC＝，所以sinB＝，所以∠B＝45°或∠B＝135°，当∠B＝45°时，由余弦定理可得AC＝＝1，此时AC＝AB＝1，BC＝，易得∠A＝90°，与已知条件“钝角三角形”矛盾，舍去．所以∠B＝135°.由余弦定理可得AC＝＝.5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(C)A.B.C.D.解析：根据题意及三角形的面积公式知absinC＝，所以sinC＝＝cosC，所以C＝.故选C.6．已知△ABC的三边长分别为a，b，，则此三角形中最大的内角为(C)A.B.C.D.或解析：因为>a，>b，所以△ABC中最大的边为，从而最大的内角为C，由余弦定理得cosC＝＝－，所以∠C＝，故选C.7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanB＝，BC·BA＝，则tanB＝(D)A.B.－1C．2D．2－解析：由余弦定理得a2＋c2－b2＝2accosB，由BC·BA＝，得accosB＝，所以tanB＝＝＝2－.故选D.8．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡的坡角为θ，则cosθ＝(C)A.B．2－C.－1D.解析：在△ABC中，由正弦定理可知BC＝＝＝50(－)(m)．在△BCD中，由正弦定理可知sin∠BDC＝＝＝－1.由题图可cosθ＝sin(θ＋90°)＝sin∠BDC＝－1.故选C.二、多项选择题(每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．由下列条件求解△ABC，其中有两解的是(BD)A．a＝10，B＝45°，C＝75°B．a＝8，b＝6，B＝30°C．a＝30，c＝28，B＝60°D．a＝4，b＝4，A＝45°解析：A中，已知两角和一边，△ABC只有一解；C中，已知两边及夹角，△ABC只有一解；B中，asinB＝8×sin30°＝4，∴asinB＜b＝6＜a，∴△ABC有两解；D中，bsinA＝4×sin45°＝4×＝2，∴bsinA＜a＝4＜b＝4，∴△ABC有两解．10．若将直角三角形的三边都增加同样的长度，则对这个新三角形的形状的说法不正确的是(BCD)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定解析：设三边增加的长度均为x，原三角形的三边长分别为a，b，c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c，新的三角形的三边长分别为a＋x，b＋x，c＋x，显然c＋x为最大边，其对应的角最大，而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值大于0，则这个角为锐角，那么新的三角形为锐角三角形．11．在△ABC中，∠A＝，BC＝3，则△ABC的周长不可能为(ABC)A．4sin＋3B．4sin＋3C．6sin＋3D．6sin＋3解析： ∠A＝，BC＝3，设周长为x，由正弦定理，知＝＝，由合分比定理，知＝，即＝.∴2{＋sinB＋sin[π－(A＋B)]}＝x，即x＝3＋2＝3＋2＝3＋2＝3＋2＝3＋6＝3＋6sin.12．在钝角三角形ABC中，若sinA＜sinB＜sinC，则下列关系不正确的是(ABD)A．cosA·cosC＞0B．cosB·cosC＞0C．cosA·cosB＞0D．cosA·cosB·cosC＞0解析： sinA＜sinB＜sinC，∴C为钝角，∴cosC＜0，cosA＞0，cosB＞0，∴cosA·cosC＜0，cosB·cosC＜0，cosA·cosB＞0，cosA·cosB·cosC＜0.三、填空题(每小题5分，共20分)13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC外接圆的直径为5.解析：由题意得acsinB＝2，∴×1×csin45°＝2，∴c＝4.由余弦定理，得cosB＝＝＝，解得b＝5.由正弦定理，得＝2R，∴2R＝＝5.14．如图所...
