9.2正弦定理与余弦定理的应用关键能力·素养形成类型一测量高度问题【典例】(2019·东莞高一检测)如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于()A.5B.15C.5D.15【思维·引】在△BCD中,由正弦定理求BC,在Rt△ABC中,求塔高AB.【解析】选D.在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°.由正弦定理得=,所以BC=15.在Rt△ABC中,∠ACB=60°,AB=BCtan∠ACB=15×=15.【内化·悟】1.求高度问题一般应用什么思想方法?提示:应用转化的思想方法,把立体问题平面化,即转化到三角形中来解决问题.2.解三角形时,如何根据条件选择应用正弦定理和余弦定理?提示:根据题目条件和所求,以及定理的作用选用.如已知三边求角,可以用余弦定理.【类题·通】测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化:测量高度问题往往是空间中的问题,因此先要选好所求线段所在的平面,将空间问题转化为平面问题.(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合,全面分析所有三角形,仔细规划解题思路.【习练·破】如图所示,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于()A.10mB.5mC.5(-1)mD.5(+1)m【解析】选D.方法一:设AB=xm,则BC=xm.所以BD=(10+x)m.所以tan∠ADB===.解得x=5(+1).所以A点离地面的高AB=5(+1)m.方法二:因为∠ACB=45°,所以∠ACD=135°,所以∠CAD=180°-135°-30°=15°.由正弦定理得AC=·sin∠ADC=·sin30°=m,所以AB=ACsin45°=5(+1)m.类型二测量角度问题【典例】(2019·合肥高二检测)甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处,乙船以每小时a海里的速度向北行驶,已知甲船的速度是每小时a海里,问甲船应沿着什么方向前进,才能最快与乙船相遇?世纪【思维·引】假设两船在C点相遇,甲船沿方向行驶,把问题转化为在三角形ABC内求∠CAB来求解.【解析】如图所示.设经过t小时两船在C点相遇,则在△ABC中,BC=at(海里),AC=at(海里),B=90°+30°=120°,由正弦定理=,得sin∠CAB====,因为0°<∠CAB<90°,所以∠CAB=30°,所以∠DAC=60°-30°=30°,所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进,才能最快与乙船相遇.【类题·通】测量角度问题的技巧(1)测量角的大小,可利用测角仪及测距离的钢卷尺等工具结合正弦定理及余弦定理解三角形,能够解决不能直接测得的角的大小的问题.(2)在利用正弦定理、余弦定理解决航海问题中的综合题时,要根据实际,找出等量关系,画示意图时,要注意方向角的画法.【习练·破】在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A处(-1)nmile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°的方向,距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?【解析】设缉私船用th在D处追上走私船,画出示意图,则有CD=10t,BD=10t,在△ABC中,因为AB=-1,AC=2,∠BAC=120°,所以由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=(-1)2+22-2×(-1)×2·cos120°=6,所以BC=且sin∠ABC=·sin∠BAC=×=,所以∠ABC=45°,BC与正北方向成90°角.因为∠CBD=90°+30°=120°,在△BCD中,由正弦定理得sin∠BCD===,所以∠BCD=30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.类型三测量距离问题角度1两点不可到达的距离问题【典例】如图,A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法.世纪【思维·引】在岸边选定两点C,D,分别在△ADC和△BDC中,构建方程求解.【解析】测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得CD=a,并且在C,D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ,在△ADC和△BDC中,应用正弦定理得AC==,BC==.计算出AC和BC后,再在△ABC中,应用余弦定理计算出A,B两点间的距离AB=.【素养·探】★在利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的过程中,经常利用核心素养中的数学建模和数学运算,通过对条件与结论的分析,建立数学模型,应用正弦定理和余弦定理,经过数学运算求解.对于本例题,你能否给出另外一种测量方法?【解析】测量者可以在河岸边选定点E,C,D,使A,E,C三点共线,B,E,D三点共线,测得EC=a,ED=b,并...
