2.3.4平面与平面垂直的性质A级基础巩固一、选择题1．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则(C)A．m∥βB．m⊂βC．m⊥βD．m与β相交但不一定垂直[解析]如图， α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，∴m⊥β．2．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是(B)A．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βB．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β[解析]⇒α⊥β，∴B正确．3．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则(C)A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直[解析]α⊥β，a⊂α，b⊂β，a⊥b，当α∩β＝a时，b⊥α；当α∩β＝b时，a⊥β，其他情形则未必有b⊥α或a⊥β，所以选项A、B、D都错误，故选C．4．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(D)A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点[解析] 平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC．又 BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC．∴∠ACB＝90°．∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．5．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂a，要使n⊥β，则应增加的条件是(B)A．m∥nB．n⊥mC．n∥αD．n⊥α[解析]由面面垂直的性质定理知，要使n⊥β，应有n与交线m垂直，∴应增加条件n⊥m．6．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则ABA′B′等于(A)A．21B．31C．32D．43[解析]由已知条件可知∠BAB′＝，∠ABA′＝，设AB＝2a，则BB′＝2asin＝a，A′B＝2acos＝a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴ABA′B′＝21．二、填空题7．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个结论：①α∥β，l⊄β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确的两个结论是__①③__．[解析]⇒l⊥m，故①对；⇒l∥β或l⊂β，又m是β内的一条直线，故l∥m不对；⇒α⊥β，∴③对；⇒m⊂α或m∥α，无论哪种情况与m⊂β结合都不能得出α∥β，∴选D．8．三棱锥P－ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的垂心．[解析]由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC⊥PA，AB⊥PC，CA⊥PB，又由BC⊥PA，PH⊥BC，PA∩PH＝P，得BC⊥平面PAH，则BC⊥AH，同理有AB⊥CH，CA⊥BH，所以H为△ABC高线的交点，即垂心．三、解答题9．把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD．[解析]⇒⇒平面ABD⊥平面ACD．10．(2018·江苏卷，15)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1．求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC．[解析](1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．B级素养提升一、选择题1．m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出如下结论：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α；④α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；⑤若α⊥β，m∥α，则m⊥β．其中正确结论的个数为(B)A．1B．2C．3D．4[解析]根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α、β可能平行，也可能相交，不正确；③中，m还可能在α内或m∥α，或m与α斜交，不正确；④中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，有m∥α，正确；⑤中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确结论的个...
