2.3.1平面向量基本定理课时分层训练1.(2019·合肥质检)已知O,A,B,C为同一平面内的四个点,若2AC+CB=0,则向量OC等于()A.OA-OBB.-OA+OBC.2OA-OBD.-OA+2OB解析:选C因为AC=OC-OA,CB=OB-OC,所以2AC+CB=2(OC-OA)+(OB-OC)=OC-2OA+OB=0,所以OC=2OA-OB.故选C.2.已知点M是△ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且EC=2AE,则EM=()A.AC+ABB.AC+ABC.AC+ABD.AC+AB解析:选C如图, EC=2AE,∴EM=EC+CM=AC+CB=AC+(AB-AC)=AB+AC.故选C.3.(2018·常州调研)已知A,B,C三点不共线,且点O满足OA+OB+OC=0,则下列结论正确的是()A.OA=AB+BCB.OA=AB+BCC.OA=AB-BCD.OA=-AB-BC解析:选D OA+OB+OC=0,∴O为△ABC的重心,∴OA=-×(AB+AC)=-(AB+AC)=-(AB+AB+BC)=-(2AB+BC)=-AB-BC.故选D.4.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与-b的夹角是()A.60°B.120°C.30°D.150°解析:选A -a与-b分别为a与b的相反向量.∴-a与-b的夹角为60°.故选A.5.若D点在△ABC的边BC上,且CD=4DB=rAB+sAC,则3r+s的值为()A.B.C.D.解析:选C CD=4DB=rAB+sAC,∴CD=CB=(AB-AC)=rAB+sAC,∴r=,s=-.∴3r+s=-=.故选C.6.已知向量a与b的夹角等于60°,则(1)2a与3b的夹角是________.(2)2a与-b的夹角是________.解析:2a与3b的夹角等于a与b的夹角即为60°;2a与-b的夹角等于a与b夹角的补角,即为120°.答案:(1)60°(2)120°7.已知e1、e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作为平面内的一组基底,则实数λ的取值范围为________.解析:若a,b能作为平面内的一组基底,则a与b不共线,则a≠kb(k∈R),又a=e1+2e2,b=2e1+λe2,∴λ≠4.答案:(-∞,4)∪(4,+∞)8.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2∈R),则λ1+λ2的值为________.解析:由DE=BE-BD=BC-BA=(AC-AB)+AB=-AB+AC,得λ1=-,λ2=,从而λ1+λ2=.答案:9.已知向量a,b的夹角为60°,试求下列向量的夹角.(1)-a与b;(2)2a与b.解:(1)如图①,由向量夹角的定义,可知向量-a与b的夹角为120°.(2)如图②,向量2a与b的夹角为60°.10.如图,O,A,B三点不共线,OC=2OA,OD=3OB,设OA=a,OB=b.(1)试用a,b表示向量OE;(2)设线段AB,OE,CD的中点分别为L,M,N,试证明L,M,N三点共线.解:(1) B,E,C三点共线,∴OE=xOC+(1-x)OB=2xa+(1-x)b,①同理, A,E,D三点共线,可得OE=ya+3(1-y)b,②比较①②得解得x=,y=,∴OE=a+b.(2)证明: OL=,OM=OE=,ON=(OC+OD)=,MN=ON-OM=,ML=OL-OM=,∴MN=6ML,∴L,M,N三点共线.1.(2019·泉州南安第一中学检测)如图,向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a用基底e1,e2表示为()A.e1+e2B.2e1-e2C.-2e1+e2D.2e1+e2解析:选C平移e1,e2,由图易知a=AD+DB=-2e1+e2.故选C.2.(2019·赣州寻乌中学期末)在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若AO=λAB+μBC,则λ+μ=()A.1B.C.D.解析:选D由题知,AO=AD=(AB+BD).又因为BD=AB×cos60°=1,所以BD=BC,故AO=AB+BC,因此λ+μ=+=,故选D.3.如图所示,|OA,\s\up6(→))|=|OB|=1,|OC|=,∠AOB=60°,OB⊥OC,设OC=xOA+yOB,则()A.x=-2,y=-1B.x=-2,y=1C.x=2,y=-1D.x=2,y=1解析:选B过点C作CD∥OB交AO的延长线于点D,连接BC.由|OB|=1,|OC|=,∠AOB=60°,OB⊥OC,知∠COD=30°.在△OCD中,可得OD=2CD=2,则OC=OD+OB=-2OA+OB,故x=-2,y=1,故选B.4.已知△ABC是边长为4的正三角形,D,P是△ABC内的两点,且满足AD=(AB+AC),AP=AD+BC,则△APD的面积为()A.B.C.D.2解析:选A取BC的中点E,连接AE,由于△ABC是边长为4的正三角形,则AE⊥BC,AE=(AB+AC),又AD=(AB+AC),所以点D是AE的中点,AD=.取AF=BC,以AD,AF为邻边作平行四边形,可知AP=AD+BC=AD+AF,而△APD是直角三角形,|AF|=,...