【优化指导】2015年高中数学2.3.1平面向量基本定理课时跟踪检测新人教A版必修4考查知识点及角度难易度及题号基础中档稍难基底及用基底表示向量1、36、8、9向量夹角问题2、4综合问题57、10111．已知e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是()A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1C．e1－2e2和4e2－2e1D．e1＋e2和e1－e2解析：∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线．故不能作为基底，其余三组均为不共线．答案：C2．在等腰直角△ABC中，AB⊥AC，则AB与BC的夹角是()A．135°B．90°C．60°D．45°解析：作线段AB的延长线AD，则∠DBC是AB与BC的夹角，又∠DBC＝180°－∠ABC＝180°－45°＝135°.答案：A3.在如图所示的平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________.(用a，b表示)解析：MN＝MC＋CN＝AD－AC＝b－(a＋b)＝－a＋b.答案：－a＋b4．已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a与b的夹角等于______．解析：作BC＝a，CA＝b，则c＝a＋b＝BA(如图所示)，则a与b的夹角为180°－∠C.∵|a|＝1，|b|＝2，c⊥a，∴∠C＝60°.∴a与b的夹角为120°.答案：120°5．已知向量a，b的夹角为60°，试求下列向量的夹角：(1)－a，b；(2)2a，b.解：由向量夹角的定义，如图．16．在平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b.(1)如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示BF，DE.(2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示AG.解：(1)BF＝BC＋CF＝AD＋CD＝AD－AB＝－a＋b.DE＝DC＋CE＝AB－AD＝a－b.(2)BD＝AD－AB＝b－a，∵O是BD的中点，G是DO的中点，∴BG＝BD＝(b－a)．∴AG＝AB＋BG＝a＋(b－a)＝a＋b.7.如图，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB(λ、μ∈R)，求λ＋μ的值．解：如图，利用向量加法的平行四边形法则，OC＝OD＋OE＝4OA＋2OB，∴λ＝4，μ＝2.∴λ＋μ＝6.8.如图所示，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若AB＝a，AD＝b，用a，b表示AG＝______.解析：AG＝AE－GE＝AB＋BE－GE＝a＋b－FE＝a＋b－×DB＝a＋b－(a－b)＝a＋b.答案：a＋b9．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝______.解析：设AB＝a，AD＝b，则AE＝a＋b，AF＝a＋b.又∵AC＝a＋b，2∴AC＝(AE＋AF)．即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.答案：10．如图，在▱OACB中，OA＝a，OB＝b，BD＝BC，OD与BA相交于E，求证：BE＝BA.证明：设BE＝λBA.则OE＝OB＋BE＝OB＋λBA＝OB＋λ(OA－OB)＝λOA＋(1－λ)OB＝λa＋(1－λ)b.OD＝OB＋BD＝a＋b.∵O、E、D三点共线，∴OE与OD共线．∴＝.∴λ＝.即BE＝BA.11.如图，已知△ABC的面积为14cm2，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，求△APC的面积．解：设AB＝a，BC＝b为一组基底，则AE＝a＋b，DC＝a＋b.∵点A、P、E与D、P、C分别共线，∴存在λ和μ，使AP＝λAE＝λa＋λb，DP＝μDC＝μa＋μb.又∵AP＝AD＋DP＝a＋μb，∴⇒∴S△PAB＝S△ABC＝14×＝8(cm2)．∴S△PBC＝14×＝2(cm2)．故S△APC＝14－8－2＝4(cm2)．1．平面向量基本定理的实质：平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式；而且基底一旦确定，这种分解是唯一的．2．平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．3．求两个非零向量夹角，要注意两向量一定是有公共起点；两向量夹角的范围是[0，π]．3
