第二章2.32.3.4平面与平面垂直的性质A级基础巩固一、选择题1．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则(C)A．m∥βB．m⊂βC．m⊥βD．m与β相交但不一定垂直[解析]如图， α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，∴m⊥β.2．设有直线m、n和平面α、β，则下列命题中正确的是(B)A．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βB．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β[解析]⇒α⊥β，∴B正确．3．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则(C)A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直[解析]α⊥β，a⊂α，b⊂β，a⊥b，当α∩β＝a时，b⊥α；当α∩β＝b时，a⊥β，其他情形则未必有b⊥α或a⊥β，所以选项A、B、D都错误，故选C．4．如右图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(D)A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点[解析] 平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC.又 BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．5．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂a，要使n⊥β，则应增加的条件是(B)A．m∥nB．n⊥mC．n∥αD．n⊥α[解析]由面面垂直的性质定理知，要使n⊥β，应有n与交线m垂直，∴应增加条件n⊥m.6．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB︰A′B′等于(A)A．2︰1B．3︰1C．3︰2D．4︰3[解析]由已知条件可知∠BAB′＝，∠ABA′＝，设AB＝2a，则BB′＝2asin＝a，A′B＝2acos＝a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB︰A′B′＝2︰1.二、填空题7．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：①α∥β，l⊄β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是__①③__.[解析]⇒l⊥m，故①对；⇒l∥β或l⊂β，又m是β内的一条直线，故l∥m不对；⇒α⊥β，∴③对；⇒m⊂α或m∥α，无论哪种情况与m⊂β结合都不能得出α∥β，∴选D．8．三棱锥P－ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的__垂__心.[解析]由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC⊥PA，AB⊥PC，CA⊥PB，又由BC⊥PA，PH⊥BC，得BC⊥平面PAH，则BC⊥AH，同理有AB⊥CH，CA⊥BH，所以H为△ABC高线的交点，即垂心．三、解答题9．把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD.[解析]⇒⇒平面ABD⊥平面ACD.10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点.(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.[解析](1) CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD.又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形．则BC＝DO，而AD＝3BC，∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．(2)证明： 侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又PA⊥PD，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD.B级素养提升一、选择题1．m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α；④α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；⑤若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为(B)A．1B．2C．3D．4[解析]根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α、β可能平行，也可能相交，不正确；③中，m还可能在α内或m∥α，或m与α斜交，不正确；④中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，呆可能有m∥α，...
