高一数学等差数列的概念及前n项的和【本讲主要内容】等差数列的概念及前n项的和等差数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念，等差数列的前n项和公式及等差数列的性质。【知识掌握】【知识点精析】上节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子：1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②③问题：观察这些数列有什么共同的特点？对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②-2n（n≥1）；（n≥2）对于数列③（n≥1）；（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列。1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，－2，。建议：课本第110-102页的三个例子说明了等差数列在实际中的应用，请同学们再找出一些实际的例子，以加深对等差数列概念的认识。2.等差数列的通项公式等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n-1个等式相加，则可得：即：即：即：……用心爱心专心由此可得：说明：若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。如：数列①：（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：由此说明：当知第项和公差d，也可求得其通项。即：3.等差中项的有关概念问题：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列，那么A应满足什么条件？由定义得A-=-A，即：，反之，若，则A-=-A由此可得：成等差数列。定义：若，A，成等差数列，那么A叫做与的等差中项。不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，也是1和9的等差中项。9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项。可看出：从而可得：在一等差数列中，若m+n=p+q则注意灵活应用等差数列定义、性质及通项公式解决相关问题。4.等差数列前n项设等差数列的前n项和为，①用心爱心专心②∴①+②可得：2∴或利用定义可得：两式相加可得：2即（1）将代入可得：（2）综上所述：等差数列求和公式为：说明：对于公式（2）整理后是关于n的没有常数项的二次式。即：【解题方法指导】例1.已知数列的通项公式为，其中，是常数，且那么这数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数。解：取数列中的任意相邻两项与（n≥2），则：它是一个与n无关的常数，所以是等差数列。在中令n=1，得：，所以这个等差数列的首项是公差是p。看来，等差数列的通项公式可以表示为：，其中、是常数。用心爱心专心问题：当时，是关于n的一次式，它的图像是什么？显然，它的图像是均匀地分布在一次函数的图像上的点的集合。其实，我们可以由通项公式写成，它就是关于n的一次式，也就是说，除了定义，我们还可以从数列的通项公式是否为关于n的一次式判断这个数列是不是等差数列。如：是等差数列，而不是等差数列。例2.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？分析：若要确定其前n项求和公式，则要确定由已知条件可获两个关于和的关系式，从而可求得。解：由题意知，代入公式可得解得看来，可以由S10与S20来确定Sn提示：由于公式（2）整理后是关于n的没有常数项的二次式，故可设解得p=3，q=1从而求得【考点突破】【考点指要】等差数列的意义，判定，通项公式的探求，等差数列的前n项和公式的探求以及等差数列的性质是历年高考的必考内容，考察形式多样，可以是小题（选择题、填空题），也可以是大题形式出现，所占的分值为5~14分。【典型例题分析】例1.（全国卷2、文7题）如果数列是等差数...
