等差数列的前n项和公式()VIP专享VIP免费

2.3.1等差数列的前n项和泰姬陵坐落于印度距首都新德里200多公里外的北方邦的阿格拉市，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑令人心醉神迷，陵寝以宝石镶嵌，图案细致,绚丽夺目、美丽无比，令人叫绝.成为世界八大奇迹之一.问题呈现传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题1：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？问题就是求“1+2+3+4+…+100=？”德国古代著名数学家高斯10岁的时候很快就解决了这个问题：1＋2＋3＋…＋100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？高斯（Gauss,1777—1855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”.问题2:求和:1+2+3+4+…+n=?记:S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1)1(2nnS上述求解过程带给我们什么启示？(1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示；(2)等差数列中任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和。2)1(nnS问题3：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，如何求等差数列的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an?解：因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…2)(1nnaanS两式左右分别相加，得倒序相加S=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+anS=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a12Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)=n(a1+an)变式：能否用a1,n,d表示Sn？an=a1+(n-1)ddnnnaSn2)1(1111()[1)]nSaadand（()[(1)]nnnnSaadand)(21nnaanS1()12nnnaaS公式dnaan)1(11(1)22nnnSnad公式问题4：?nnan如何求等差数列的前项和S求和公式1()2nnnaaS等差数列的前n项和的公式：1(1)2nnnSnaddnaan)1(1公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式.na1an1()2nnnaaS例1:根据下列条件，求相应的等差数列的nanS;10,95,5)1(1naan;50,2,100)2(1nda.32,7.0,5.14)3(1nada2)1nnaanS（.5002)955(1010SdnnnaSn2)11（2550)2(2)150501005050（Sdnaan)1(1,2617.05.1432n.5.6042)325.14(2626S例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？分析：①找关键句；②求什么，如何求；解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列{an}，且a1=500,d=50,n=10.故，该市在未来10年内的总投入为：1010101105005072502S万元答例4、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？解：由于S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式1(1)2nnnSnad可得111045310201901220adad146ad于是，所以2(1)4632nnnSnnn＝例4、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？1101011010()310622aaSaa①1202012020()12201222aaSaa②201060aa1060d6d14a21132nnnSandnn（）另解：两式相减得小结1．等差数列前n项和的公式；2．等差数列前n项和公式的推导方法——倒序相加法；3.公式的应用(知三求一)。（两个）1()2nnnaaS1(1)2nnnSnad2、等差数列{an}的前n项和公式2)(1nnaansdnnnasn2)1(1复习1、等差数列{an}的基本性质：(1)a1+an=a2+an-1=a3+an-2=···(3)如果数列{an}的通项公式是an=An+B(A、B是与n无关的常数），那么数列{an}一定是等差数列。(2)a、A、b成等差数列A=（a+b)/2练习1、计算（1）5+6+7+…+79+80（2）1+3+5+…+（2n-1）（3）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n-nn2135+21n2解：…22nn2n135+212+4+6++2nn3解：原式＝……21nnn1212nnn3230提示：n=76法二：1212222nnnn