三角50题1.已知函数（1）求的值；（2）求函数y=f(x)的最小正周期及其单调递增区间.答案及解析：1.（1）；（2），（）【分析】（1）利用半角公式对其降幂角加倍，再由诱导公式将化为，进而借助辅助角公式合并为同一个角的三角函数，代入此时角的大小，运算求得答案；（2）由（1）得解析式，由，求得最小正周期，由正弦型函数在上单调递增，进而表示在此时的x取值范围，即为单调递增区间.【详解】（1）由可得：，则.（2）由（1）知：，函数的最小正周期为.又由，解得因此函数的单调递增强区间为（）.【点睛】本题考查由三角恒等变换对函数化简并求值，还考查了三角函数的最小正周期和求单调区间，属于中档题.2.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.(1)求C；(2)若，，求c.答案及解析：2.（1）（2）【分析】(1)利用正弦定理化简为，再利用余弦定理得到答案.(2)先用和差公式计算，再利用正弦定理得到.【详解】(1)由正弦定理，可化为，得，由余弦定理可得，有又由，可得.(2)由，由正弦定理有.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，和差公式，意在考查学生的计算能力.3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，，求c及△ABC的面积.答案及解析：3.（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简得，再由得，根据三角形的内角的范围可求得角的大小；（Ⅱ）根据余弦定理得建立关于的方程，解之可得，再根据三角形的面积公式可求得三角形的面积.【详解】（Ⅰ），，由正弦定理可得，又，，，，，所以，故.（Ⅱ），，由余弦定理可得：，即,解得或（舍去），故.所以.【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，运用时注意根据条件进行合理的选择和三角形的角的范围，属于基础题.4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，（1）求sinB的值（2）求的值.答案及解析：4.（1）（2）【分析】（1）首先利用正弦定理得到，代入余弦定理得到，再利用同角三角函数关系即可得到的值.（2）利用三角恒等变换公式计算即可得到答案.【详解】（1）在△ABC中，，，所以由余弦定理可得又因为，所以（2），所以.【点睛】本题第一问考查正弦定理角化边公式和余弦定理，第二问考查三角恒等变换公式，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.5.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知，，.（1）求角C和b的值；（2）求的值.答案及解析：5.（1）；；（2）.【分析】（1）由题意结合正弦定理可得、，求出后，再利用余弦定理即可求得，即可得解；（2）由正弦定理可得，利用同角三角函数的平方关系、三角恒等变化可得、，再利用正弦的差角公式即可得解.【详解】（1）由题意结合正弦定理得，则，又，所以；由，解得或（舍去），所以；（2）由正弦定理得，解得，又因为，所以，为锐角，所以，所以，，因此.【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，考查了三角恒等变换的应用与运算求解能力，属于中档题.6.△ABC中的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，.（1）求；（2）若，点D为边BC上一点，且，求的面积.答案及解析：6.（1）（2）10【分析】（1）由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得，再根据二倍角的余弦公式计算即可；（2）由已知可得，利用余弦定理解出，由已知计算出与，再根据三角形的面积公式求出结果即可.【详解】（1），，在△ABC中，由正弦定理得，，又，，，（2），，，由余弦定理得，，则，化简得，，解得或（负值舍去），，，，，，的面积.【点睛】本题考查了三角形面积公式以及正弦定理、余弦定理的应用，考查了二倍角公式的应用，考查了运算能力，属于基础题.7.△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知△ABC的面积为，，．（1）求和的值；（2）求的值．答案及解析：7.（1）；；（2）．【分析】（1）先利用平方关系求出，结合面积公式和已知可得，然后利用余弦定理可求，利用正弦定理可得的值；（2）先求解，利用倍角公式可得，，结合和角公式可求的值．【详解】（1）在△ABC中，由，可得，△ABC的面积为，可得：，可得．又，解得：，或，（舍去），，，∴，∴，又，解得；所以；；（2）由（1）知：，所以...
