不等式恒成立问题的解题策略1VIP免费

不等式恒成立、能成立、恰成立问题的解题策略成都市新都香城中学庞敏“恒成立”问题的常见解法，提高横向、逆向、创造性的思维能力。一、不等式恒成立问题的常规处理方方法1、转换求函数的最值：（1）若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上，的下界大于A（2）若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上,的上界小于A2、分离变量法：在同一个等式或不等式中，将主元与辅元分离（常用的运算技巧）3、数形结合：（凡是能与六种基本函数联系起来的相关问题，都可以考虑此法）例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+]时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。ⅰ)当=4（a-1）(a+2)<0时，ⅱ）当=4（a-1）(a+2)0综合可得a的取值范围为[-3，1]例2、已知对任意恒成立,试求实数的取值范围;对任意恒成立等价于对任意恒成立,又等价于时,的最小值成立.由于在上为增函数,则,所以例3定义在R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有恒成立，求实数m的取值范围.解析由得到：因为为奇函数，故有恒成立，又因为为R减函数，从而有对恒成立设，则对于恒成立，在设函数,对称轴为.用心爱心专心tg(t)o·1图1tg(t)o·1图2t=mt=m①当时，，即，又∴(如图1)②当，即时,,即,∴,又,∴(如图2)③当时，恒成立.∴(如图3)故由①②③可知：.例4、已知不等式对任意的恒成立，求实数k的取值范围例5、（09年江西卷文17）设函数．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值。（节选）解析：(1),对,,即在上恒成立,,得，即的最大值为。例6、（07年重庆卷理20)已知函数在处取得极值，其中、为常数.（1）试确定、的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围。解：（1）（2）略（3）由（2）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.要使恒成立，只需.即，从而.解得或.的取值范围为.用心爱心专心tg(t)o·1图3t=m二、主参换位法例1、若不等式对恒成立，求实数a的取值范围例2、若对于任意，不等式恒成立，求实数x的取值范围例3、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：即解得：∴x<-1或x>3.例4（07辽宁卷文科22)已知函数，，且对任意的实数均有，.(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)若对任意的，恒有，求的取值范围.解析：(Ⅰ)，，而，恒成立.则由二次函数性质得，解得，，。（Ⅱ）.令，则即.由于，则有.解得.所以的取值范围为。例5、(08安徽文科20)．已知函数，其中为实数．（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围．（节选）分析：已知参数的范围，要求自变量的范围，转换主参元和的位置，构造以为自变量作为参数的一次函数，转换成，恒成立再求解。用心爱心专心解析：由题设知“对都成立，即对都成立。设（），则是一个以为自变量的一次函数。恒成立，则对，为上的单调递增函数。所以对，恒成立的充分必要条件是，，，于是的取值范围是。三、分离参数法利用分离参数法来确定不等式,（,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式(或)，得的取值范围。适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。例1（07年山东卷文15)当时，不等式恒成立，则的取值范围是.解析:当时，由得.令，则易知在上是减函数，所以时，则∴.例2（09年山东卷文21）已知函数,其中w.w.w.k.s.5…。（1）当满足什么条件时,取得极值?（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.解析：(2)在区间上单调递增在上恒成立恒成立，。设，用心爱心专心，令得或(舍去)，当时,，当时，单调增函数；当时，单调减函数,。。当时，，此时在区间恒成立，所以在区间上单调递增，，。综上，当时,；当时，。四、数形结合（对于型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）若把等式或不等式进...