【试题研究】轨迹问题大揭秘（适合高二、高三）1.试题呈现【2012年湖北理】设A是单位圆221xy上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足||||(0,1)DMmDAmm且.当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（2）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m，使得对任意的0k，都有？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.2.课本探源本题源于高中数学人教A版选修2-1第41页例23.分析与解分析：第（1）问根据题意设点，结合||||(0,1)DMmDAmm且及A点在单位圆上运动，可得曲线的方程；第（2）问可利用设而不求，结合题意列出PQPH的等价关系可得的值；或利用点差法，将PQPH转化为可求得的值.解（1）如图1，设(,)Mxy，00(,)Axy，则由||||(0,1)DMmDAmm且，可得0xx，0||||ymy，所以0xx，01||||yym.①因为A点在单位圆上运动，所以22001xy.②将①式代入②式即得所求曲线C的方程为2221(0,1)yxmmm且.因为(0,1)(1,)m，所以当01m时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为2(1,0)m，2(1,0)m；当1m时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为2(0,1)m，2(0,1)m.（2）解法1：如图2、3，0k，设11(,)Pxkx，22(,)Hxy，则11(,)Qxkx，1(0,)Nkx，直线QN的方程为12ykxkx，将其代入椭圆C的方程并整理可得222222211(4)40mkxkxxkxm.依题意可知此方程的两根为1x，2x，于是由韦达定理可得21122244kxxxmk，即212224mxxmk.因为点H在直线QN上，所以2121222224kmxykxkxmk.于是11(2,2)PQxkx�，22112121222242(,)(,)44kxkmxPHxxykxmkmk�.而PQPH等价于2221224(2)04mkxPQPHmk�，即220m，又0m，得2m，故存在2m，使得在其对应的椭圆2212yx上，对任意的0k，都有PQPH.解法2：如图2、3，1(0,1)x，设11(,)Pxy，22(,)Hxy，则11(,)Qxy，1(0,)Ny，因为P，H两点在椭圆C上，所以222211222222,,mxymmxym两式相减可得222221212()()0mxxyy.③依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合，图2图3图1ODxyAM故1212()()0xxxx.于是由③式可得212121212()()()()yyyymxxxx.④又Q，N，H三点共线，所以QNQHkk，即1121122yyyxxx.于是由④式可得211212121121212()()12()()2PQPHyyyyyyymkkxxxxxxx.而PQPH等价于1PQPHkk，即212m，又0m，得2m，故存在2m，使得在其对应的椭圆2212yx上，对任意的0k，都有PQPH.4.小试牛刀练习1在平面直角坐标系内已知两点(1,0)A、(1,0)B，若将动点(,)Pxy的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的2倍后得到点(,2)Qxy，且满足1AQBQ�.（Ⅰ）求动点P所在曲线C的方程；（Ⅱ）过点B作斜率为22的直线l交曲线C于M、N两点，且0OMONOH�，又点H关于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、H四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由.解（Ⅰ）设点P的坐标为(,)xy，则点Q的坐标为(,2)xy，依据题意，有(1,2),(1,2).AQxyBQxy�221,121.AQBQxy�动点P所在曲线C的方程是221.2xy（Ⅱ）因直线l过点B，且斜率为22k，故有2:(1).2lyx联立方程组22122(1)2xyyx，消去y，得22210.xx设11(,)Mxy、22(,)Nxy，可得1212112xxxx，于是1212122xxyy.又0OMONOH�，得1212(,),OHxxyy�即2(1,)2H而点G与点H关于原点对称，于是，可得点2(1,).2G若线段MN、GH的中垂线分别为1l和2l，22GHk，则有1221:2(),:2.42lyxlyx联立方程组212()422yxyx，解得1l和2l的交点为112(,).88O因此，可算得221932311||()(),888OH2211112311||()().888OMxy...
