《含有一个量词的命题否定》同步练习一、选择题1．已知命题p：∃n∈N，2n>1000，则¬p为()A．∀n∈N，2n≤1000B．∀n∈N，2n>1000C．∃n∈N，2n≤1000D．∃n∈N，2n<1000解析：命题p的否定为：∀n∈N，2n≤1000.答案：A2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0解析：命题的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1>0”．答案：C3．“a和b都不是偶数”的否定形式是()A．a和b至少有一个是偶数B．a和b至多有一个是偶数C．a是偶数，b不是偶数D．a和b都是偶数解析：在a，b是否为偶数的四种情况中去掉a和b都不是偶数还有三种情况，即a偶b奇，a奇b偶，a偶b偶，故选A.答案：A4．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3＞0.如果命题¬p是真命题，那么a的范围是()A．a＜B．0＜a≤C．a≤D．a≥解析：¬p为：∃x∈R，使ax2＋2x＋3≤0.①当a≤0时，存在x∈R，使ax2＋2x＋3≤0成立；②当a＞0时，Δ＝4－12a≥0时¬p成立．∴0＜a≤.综上a≤.答案：C二、填空题5．写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为________________________________________________________________________．解析：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．答案：存在实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0没有实根6．给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x∈R，x2－2x＞0；④有一个素数含有三个正因数．以上命题的否定为真命题的序号是____________．解析：写出命题的否定，易知③④的否定为真命题，或者根据命题①②是真命题，③④为假命题，再根据命题与它的否定一真一假，可得③④的否定为真命题．答案：③④三、解答题(每小题10分，共20分)7．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：(1)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sinα＋sinβ；(2)∃x0，y0∈Z，3x0－4y0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；(4)正数的绝对值是它本身．解析：(1)由于α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ，所以命题为假命题，否定为：∃α0，β0∈R，sin(α0＋β0)＝sinα0＋sinβ0.(2)真命题，否定为：∀x，y∈Z，3x－4y≠20.(3)真命题，否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．(4)是全称命题，省略了量词“所有”，命题为真命题．否定为：有的正数的绝对值不是它本身．8．写出下列命题的否定，判断其真假并给出证明．命题p：已知a＝(1，2)，存在b＝(x，1)使a＋2b与2a－b平行．解析：命题p的否定：已知a＝(1，2)，则对任意的b＝(x，1)，a＋2b与2a－b都不平行，是一个假命题．证明如下：当a＋2b与2a－b平行时，a＋2b＝λ(2a－b)∴(1，2)＋2(x，1)＝λ[(2，4)－(x，1)]即(1＋2x，4)＝(2λ－λx，3λ)∴解得λ＝，x＝，∴存在x＝，使a＋2b与2a－b平行．
