2.3抛物线第2课时抛物线的几何性质第二章•1．类比椭圆、双曲线的性质性质，结合图象和方程，说出抛物线y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点、离心率．•新知导学•1．抛物线y2＝2px(p>0)的简单几何性质•(1)对称性：以－y代y，方程y2＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以______轴为对称轴的轴对称图形．•抛物线的对称轴叫做抛物线的______，抛物线只有一条对称轴．•抛物线的几何性质思维导航x轴•(2)顶点：抛物线和它的_____的交点叫做抛物线的顶点．•(3)离心率：抛物线上的点到______的距离和它到_______的距离的比，叫做抛物线的离心率，抛物线的离心率为1.•(4)范围：由y2＝2px≥0，p>0知x≥0，所以抛物线在y轴的_______侧；当x的值增大时，|y|也_______，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，P值越大，它开口__________．轴焦点准线右增大越开阔牛刀小试1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A．(14，±24)B．(18，±24)C．(14，24)D．(18，24)•[答案]B[解析]设焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，又F(14，0)，∴x0＝18，∴y20＝18，∴y0＝±24，故选B.2．顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点(－1，2)，则它的方程是()A．y＝2x2或y2＝－4xB．y2＝－4x或x2＝2yC．x2＝－12yD．y2＝－4x•[答案]A•[解析] 抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，•∴抛物线的方程为标准形式．•当抛物线的焦点在x轴上时，• 抛物线过点(－1，2)，•∴设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)．•∴22＝－2p(－1)．∴p＝2.•∴抛物线的方程为y2＝－4x.当抛物线的焦点在y轴上时， 抛物线过点(－1,2)，∴设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)．∴(－1)2＝2p·2，∴p＝14.∴抛物线的方程为x2＝12y.•[点评]将点(－1，2)的坐标代入检验，易知选A.•3．顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点到焦点的距离等于6的抛物线方程是________．•[答案]y2＝24x或y2＝－24x[解析] 顶点到焦点距离为6，即P2＝6，∴2P＝24，又 对称轴为x轴，∴抛物线方程为y2＝24x或y2＝－24x.•1、待定系数法求抛物线的标准方程例1已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(3，－23)，求它的方程．[解析] 抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(3，－23)，∴可设它的标准方程为x2＝－2py(p>0)．又 点M在抛物线上．∴(3)2＝－2p(－23)，即p＝34.因此所求方程是x2＝－32y.•[方法规律总结]由抛物线的几何性质求抛物线的标准方程时，应先确定其形式，再由条件确定待定系数．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，准线过椭圆x216＋y252＝1的焦点，求抛物线的方程．•[分析]由椭圆方程可求椭圆的焦点坐标，又抛物线的准线过椭圆焦点，可求参数p.[解析]椭圆x216＋y252＝1的焦点在y轴上，焦点坐标为(0，－6)，(0,6)．故抛物线的准线方程为y＝－6或y＝6.当准线方程为y＝－6时，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，则p＝12，所求抛物线的方程为x2＝24y；当准线方程为y＝6时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则p＝12，所求抛物线的方程为x2＝－24y.故所求抛物线的方程为x2＝24y或x2＝－24y.•2、最值问题例2设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线焦点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．[解析](1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连AF交抛物线于P点，故最小值为22＋12，即5.(2)如图把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±12，因为12>2，所以B在抛物线内部，自B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1.此时，由抛物线定义知：|P1Q|＝|P1F|.那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.即最小值为4.[方法规律总结]与抛物线有关的最值问题，一是涉及到焦点或准线的距离，可利用抛物线的定义(即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离)“”，构造出两点间线段最短“”或点到直线的垂线段最...
