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《2.3.2抛物线的几何性质》课件3VIP免费

《2.3.2抛物线的几何性质》课件3_第1页
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2.3抛物线第2课时抛物线的几何性质第二章•1.类比椭圆、双曲线的性质性质,结合图象和方程,说出抛物线y2=2px(p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.•新知导学•1.抛物线y2=2px(p>0)的简单几何性质•(1)对称性:以-y代y,方程y2=2px(p>0)不变,因此这条抛物线是以______轴为对称轴的轴对称图形.•抛物线的对称轴叫做抛物线的______,抛物线只有一条对称轴.•抛物线的几何性质思维导航x轴•(2)顶点:抛物线和它的_____的交点叫做抛物线的顶点.•(3)离心率:抛物线上的点到______的距离和它到_______的距离的比,叫做抛物线的离心率,抛物线的离心率为1.•(4)范围:由y2=2px≥0,p>0知x≥0,所以抛物线在y轴的_______侧;当x的值增大时,|y|也_______,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸,P值越大,它开口__________.轴焦点准线右增大越开阔牛刀小试1.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为()A.(14,±24)B.(18,±24)C.(14,24)D.(18,24)•[答案]B[解析]设焦点为F,原点为O,P(x0,y0),由条件及抛物线的定义知,|PF|=|PO|,又F(14,0),∴x0=18,∴y20=18,∴y0=±24,故选B.2.顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线,过点(-1,2),则它的方程是()A.y=2x2或y2=-4xB.y2=-4x或x2=2yC.x2=-12yD.y2=-4x•[答案]A•[解析] 抛物线的顶点在原点,坐标轴为对称轴,•∴抛物线的方程为标准形式.•当抛物线的焦点在x轴上时,• 抛物线过点(-1,2),•∴设抛物线的方程为y2=-2px(p>0).•∴22=-2p(-1).∴p=2.•∴抛物线的方程为y2=-4x.当抛物线的焦点在y轴上时, 抛物线过点(-1,2),∴设抛物线的方程为x2=2py(p>0).∴(-1)2=2p·2,∴p=14.∴抛物线的方程为x2=12y.•[点评]将点(-1,2)的坐标代入检验,易知选A.•3.顶点在原点,对称轴是x轴,并且顶点到焦点的距离等于6的抛物线方程是________.•[答案]y2=24x或y2=-24x[解析] 顶点到焦点距离为6,即P2=6,∴2P=24,又 对称轴为x轴,∴抛物线方程为y2=24x或y2=-24x.•1、待定系数法求抛物线的标准方程例1已知抛物线关于y轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(3,-23),求它的方程.[解析] 抛物线关于y轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(3,-23),∴可设它的标准方程为x2=-2py(p>0).又 点M在抛物线上.∴(3)2=-2p(-23),即p=34.因此所求方程是x2=-32y.•[方法规律总结]由抛物线的几何性质求抛物线的标准方程时,应先确定其形式,再由条件确定待定系数.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,准线过椭圆x216+y252=1的焦点,求抛物线的方程.•[分析]由椭圆方程可求椭圆的焦点坐标,又抛物线的准线过椭圆焦点,可求参数p.[解析]椭圆x216+y252=1的焦点在y轴上,焦点坐标为(0,-6),(0,6).故抛物线的准线方程为y=-6或y=6.当准线方程为y=-6时,设抛物线方程为x2=2py(p>0),则p=12,所求抛物线的方程为x2=24y;当准线方程为y=6时,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则p=12,所求抛物线的方程为x2=-24y.故所求抛物线的方程为x2=24y或x2=-24y.•2、最值问题例2设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线焦点.(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.[解析](1)如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程是x=-1,由抛物线的定义知:点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离.于是,问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.显然,连AF交抛物线于P点,故最小值为22+12,即5.(2)如图把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±12,因为12>2,所以B在抛物线内部,自B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于P1.此时,由抛物线定义知:|P1Q|=|P1F|.那么|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4.即最小值为4.[方法规律总结]与抛物线有关的最值问题,一是涉及到焦点或准线的距离,可利用抛物线的定义(即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离)“”,构造出两点间线段最短“”或点到直线的垂线段最...

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