《3.1.3特征值的不变性》习题21、求的全部特征值和对应的特征向量。2、设0是矩阵的特征值，求（1）；（2）的另一特征值。3、设为阶实矩阵，，试求的一个特征值。4、设，不解特征方程，求的特征值和特征向量5、设向量，满足记阶方阵求：(1)(2)矩阵的特征值和特征向量。答案1、解：所以的全部特征值为当所以，就可以写成令得基础解系，就是矩阵对应于的特征向量，全部特征向量为。当时，所以，可写成取，得；取，得。均为的二重特征值的特征向量，全部特征向量为，其中不全为零。2、解：解法一（1）由于为所有特征值之积，故0是的特征值知。又，所以（2）所以另一特征值为2解法二（1）的特征多项式因为是的特征值，所以将代入有，即（2）将代入，得特征方程为从而为的另一个特征值。3、解：由于，故可先算的特征值，从而这又需算出的特征值及。由，即，所以。而故即是的一个特征值于是可得的一个特征值，即为1.所以即耳朵一个特征值为1注4、解：显然,所以又知必有零特征值，可求出对应的零特征值的特征向量，解方程组得基础解系为：由知至少是的二重特征值，故有设是的另一特征值，由特征值性质知即所以。由，可解得对应的特征向量5、解（1）由及，有(2)设是的任一特征值，对应于的特征向量为，即，于是因为，所以，由得即的特征值全为零，又故方程组的基础解系为于是的属于特征值的全部特征向量为其中是不全为零的任意常数。
