数学教师的“三项基本功”引入：一个长期的思考•数学教师是否应当具有自己特殊的基本功？•数学教师的三项基本功：（1）善于举例；（2）善于提问；（3）善于比较与优化。一个普遍性的建议面对任一新的主张或时髦潮流，我们都应冷静地思考：•什么是这一主张或口号的主要内涵？•这一主张或口号能为我们提供什么新的启示和教益，特别是，具有怎样的现实意义？•什么是其固有的局限性或可能的消极后果？相应的基本认识•“三项基本功”集中反映了数学与数学教学（教育）的特殊性。•“三项基本功”不应被理解成单纯的技能；恰恰相反，就只有联系深层次的教学思想和教育思想进行分析思考我们才能真正理解它们的内涵和意义。一、“善于举例”与数学教学•从“什么是数学”谈起？•一个基本论点：“数学：模式的科学”（mathematics：thescienceofpatterns）•数学所反映的并不是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。进一步的分析•数学基本特性：抽象性。•“善于举例”的两个具体涵义：（1）如何能为抽象的数学概念举出适当的实例？（2）如何能够帮助学生由具体实例抽象出相应的数学概念？学习心理学研究的相关结论•“概念定义”与“概念意象”的必要区分。•概念意象的多元性：它“由所有的相关实例、反例、事实和关系组成。”（维纳与赫什科威兹，1980）（1）什么是“适当的例子”？•标准之一：相对于学生的可接受性；•标准之二：典型性，也即能为相应的数学抽象提供必要的基础。•这方面的一个基本事实：举例并非一件易事。[例]“范例教学法”（R.Davis)•为了帮助学生掌握负数的概念，特别是有理数的运算（如4-10=?），教师采用了一个装有豆子的口袋，再在桌上摆上一些豆子。•教师先在口袋中装入4棵豆子，同时在黑板上记下“4”这样一个数字；然后，教师从口袋中拿出10棵豆子，这时黑板上就出现了“4-10”这样一个计算式。•教师接着提问道：（1）现在口袋里的豆子与一开始相比是变多了还是变少了？（2）少了多少？……相关的分析•豆子、口袋以及相关的动作对于学生来说显然都是十分熟悉的。•一个好的“认知基础”应当具有这样的性质：它能“自动地”指明相关概念的基本性质或相关的运算法则。这也就是指，借助于所说的实例学生可以顺利地作出相应的发现。例如，学生在此显然就可借助所说实例顺利地实行4-10、5–8等运算，而无须依赖于对相应法则的机械记忆。（2）如何帮助学生由实例抽象出相应的数学概念？•这方面的关键之一：去情境；•更为深入的分析:数学抽象的建构性质；•相关的理论：“变式理论”（“概念变式”）。•核心思想：如何通过适当的变化帮助学生掌握相关概念的本质。[例1]正方形的认识•教师：“什么是正方形？”•学生：“方方正正就是正方形。”•教师：“什么是方方正正？”•学生：“就是四边相等。”•教师在黑板上画出菱形，问：“这个图形是否是正方形？”•学生：“不是，因为它不正。”•教师又在黑板上画一个矩形，问：“这是否正方形？”•学生：“不是！因为这个图形不方。”•……这样诸多回答，教师将学生回答得正确的结论都写在黑板上，回答不正确的不写，最后加以补充总结，抽象出正方形的定义。写在黑板上。“概念变式”的主要内容：（1）“标准变式”与“非标准变式”：我们在教学中不应局限于平时经常用到的一些实例，而应有意识地引入一些“非标准变式”，从而就可防止学生将相关实例的一些非本质特性误认为概念的本质特性。（2）“概念变式”与“非概念变式”：“非概念变式”大致地就相当于“反例”，这也就是指，除去“正例”以外，我们在教学中还应给出若干“反例”，这样，通过两者的对照就可帮助学生更好地掌握概念的本质。[例2]“认识分数”•引入：“分蛋糕”。教师并通过简短讨论引出了这样一个结论：“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2。•问题：如何以“变式理论”（概念变式）为指导去设计教学从而帮助学生较好掌握分数的本质？（1）分割的对象显然未必一定要是蛋糕，而也可以是纸片或别的什么东西；另外，对于所分割对象的外形也不应作任何限制：它们既可以是圆形，也可以...
