第一讲 期望方差的定义VIP专享VIP免费

第一讲随机变量的数学期望和方差P89P98在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量x的概率分布，那么x的全部概率特征也就知道了然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了在这些数字特征中，最常用的是期望和方差一离散型随机变量的数学期望和方差例1设射击选手甲与乙在同样条件下进行射击其命中环数是随机变量，分布表如下：问:如何评价甲和乙的技术?X10987650P0.50.20.10.10.050.050Y10987650P0.10.10.10.10.20.20.2下面从(一)平均命中环数和(二)从命中环数的集中或离散程度角度进行分析一分析平均命中环数给甲100发子弹则甲命中总环数大约为:5010X10987650P0.50.20.10.10.050.050209108107565500885平均每发命中环数估计为:00555610710820950101005.0102.091.081.0705.0605.0500记为EX称为随机变量X的数学期望Y10987650P0.10.10.10.10.20.20.2EY1.0101.091.081.072.062.052.00=5.6=8.85=8.85评价：因为EX=8.85,EY=5.6从平均命中环数看，甲的水平高于乙这种反映随机变量取值平均的值恰好为随机变量的一切可能取值与相应概率乘积的和二从命中环数的集中或离散程度角度考虑图(1)图(2)请看下列散点图图(1)比较集中,图(2)比较分散偏离值偏离值的平方概率P2)85.810(请看下表：偏差平方的平均值为:5.0)85.810(2X10987650P0.50.20.10.10.050.050EX=8.8510-8.850.52)85.89(9-8.850.22)85.88(8-8.850.12)85.87(7-8.850.12)85.86(6-8.850.052)85.85(5-8.850.052)85.80(0-8.8502.0)85.89(21.0)85.88(21.0)85.87(205.0)85.86(205.0)85.85(20)85.85(2=2.23DX=同理DY=10.24从偏差平方的平均值看：甲优于乙设随机变量X概率分布表为...pk...p2p1P...xk...x2x1X11pxX数学期望(或均值)定义为:二离散型随机变量的数学期望和方差定义P89P98EX=22px+...kkpx+...X方差定义为:121)(pEXxDX=222)(pEXxkkpEXx2)(+...+...偏差的平方的平均值2)(EXxE例1设x概率分布表为X012P0.20.40.4求E(x)D(x)解EX2.12.004.014.02DX4.0)2.11(24.0)2.12(22.0)2.10(256.0例2设x概率分布表为X01Pqp解EXp1q0DXpp2)1(qp2)0(pq求E(x)D(x)(p+q=1)p例3P90按规定某车站每天8:00-9:00,9:00-10:00恰有一辆客车到站,各车到站的时刻是随机的,且相互独立,其规律为到站时刻8:108:308:509:109:309:50概率1/63/62/6旅客8:20到站,求他候车时间的数学期望解X-候车时间XP10305070906362616163616261EX22.2736290363703615062306310解：例4设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。X的分布律为：1029810291108XP01245845154XP012即EX4512458154092解205100.0570.2050.4100.328kYp例5设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内期望利润是多少？X---一周5天内机器发生故障天数，)2.0,5(~BXY----一周内所获利润}10{YP}0{XP58.0216.5EY同理设连续型随机变量X概率密度函数为)(xEX三连续型随机变量的期望和方差定义P89P98X的数学期望(或均值)定义为:dxx(x)X的方差定义为:DXdx(x-EX)2(x)例5随机变量X的概率密度为求E(XD(X)110xy1)(x解dxxxXE)()(10xdx01212xdxxEXxDX)()(2102)5.0(dxx01)5.0(313x12121dxxx)()5.0(2