高一数学等比数列的概念及前n项的和知识精讲VIP专享VIP免费

高一数学等比数列的概念及前n项的和【本讲主要内容】等比数列的概念及前n项的和等比数列的定义，通项公式及等比中项的有关概念，等比数列的前n项和公式.【知识掌握】【知识点精析】前面我们已经学习了等差数列的概念及其相关性质，下面我们来看这样几个数列：1，2，4，8，16，…；①5，25，125，625，…；②…；③问题：观察这些数列有什么共同的特点？对于数列①；对于数列②；对于数列③；共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的比都等于同一个常数。也就是说，这些数列均具有相邻两项之比“相等”的特点。具有这种特点的数列，我们把它叫做等比数列。1.等比数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示。如：上述3个数列都是等比数列，它们的公比依次是2，5，。与等差数列比较，仅一字之差。注意：（1）公差“d”可为0；（2）公比“q”不可为0。建议：课本第122页的三个例子说明了等比数列在实际中的应用，请同学们再找出一些实际的例子，以加深对等比数列概念的认识.2.等比数列的通项公式：等比数列定义是由一个数列相邻两项之间关系而得。若一等比数列的首项是，公比是q，则据其定义可得：若将这n-1个等式相乘，则可得：用心爱心专心即当时，左=，右=，所以等式成立。所以，等比数列的通项公式为：说明：若已知一数列为等比数列，则只要知其首项和公比，便可求得其通项。如：数列①数列②：数列③：由上述关系还可得：即：则：=如：由此说明：当知第项和公比q，也可求得其通项。即：3.等比中项的有关概念：问题：如果在与中间插入一个数G，使，G，成等比数列，那么G应满足什么条件？由定义得，即：，反之，若，则，,成等比数列。由此可得：,成等比数列定义：若，G，成等比数列，那么G叫做与的等比中项。不难发现，在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项。从而可得：在一等比数列中，若m+n=p+q则。注意灵活应用等比数列定义及通项公式解决相关问题。4.等比数列前n项和：设等比数列的前n项和为，用心爱心专心根据等比数列的通项公式，上式可写成①①的两边乘得，②将两式相减，可得（1）当时，（2）当时，，①或②若已知，则选用公式①；若已知，则选用公式②。综上所述：等比数列求和公式为：【解题方法指导】例1.求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和。分析：等比数列的第5项到第10项可组成一新等比数列。解法一：由1，2，4，…可知∴∴从第5项到第10项共有6项,它们的和为：故从第5项到第10项的和为1008。解法二：从第5项到第10项的和为:由得:∴故从第5项到第10项的和为1008.用心爱心专心例2.等比数列中,若则________________。解法一：由∴解法二： 在等比数列中,∴成等比数列，又∴∴40+特别提示：若是等比数列，是其前n项和，设则成等比数列。【考点突破】【考点指要】等比数列的意义，判定，通项公式的探求，等比数列的前n项和公式的探求以及等比数列的性质是历年高考的必考内容，考察形式多样，可以是小题（选择题、填空题），也可以是大题形式出现，所占的分值为5~14分。【典型例题分析】例1.（2006全国卷Ⅲ文17题）已知为等比数列，。求的通项公式。解：设等比数列的公比为，则，，所以，解得．当时，，所以．当时，，所以．例2.（2005全国卷Ⅲ20题）在等差数列中，公差的等比中项。已用心爱心专心知数列成等比数列，求数列的通项。解：由题意得：，即， ，又成等比数列,∴该数列的公比为，所以。又所以数列的通项为。【综合测试】一、选择题：1.（2005江苏卷3题）在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则=（）A.33B.72C.84D.1892.数列,如果是首项为1,公比为的等比数列,那么（）A.B.C.D.3.等比数列的首项为公比为则“且”是“对于任意正整数都有”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件4.若数列的前n项和为则这个数列是（）A.等比数列B.等差数列C.等比或等差数列D.非等差数列5.（06北京文6）如果成等比数列，那么（）A.B.C.D.6.已知是...