“均值不等式”复习课教学设计一、教学分析：“均值不等式”内容在高中《代数》第五章第5.3节中出现，它是证明不等式及其各类最值的一个重要依据和方法，应用广泛，具有变通灵活性和条件约束性特点，是高考数学备考的一个重要知识点，在这个专题复习课中，教师要结合学生在新课学习中暴露出来的知识与能力的缺陷，认真设计好复习方案，力争从正反两方面去加深理解，争取在复习中做到较好的效果。二、目的要求：系统复习均值不等式及其等价式、特例式、使学生领会其中的三个条件，特别是“≥”或“≤”中取“=”号的充要条件，掌握相关配凑的技巧，并培养学生的探究精神。三、重点：熟练运用均值不等式及其推论放缩不等式难点：求函数表达式与最值时的配凑技巧及“≥”或“≤”中“=”成立的条件。四、教学媒体：投影仪五、教学设计模式：知识联系正例同化反例顺应练习强化六、教学过程：（二课时）（一）知识联系（用投影仪显示）说明：①、a1、a2……an∈R+（公式a12+a22≥2a1a2中，a1、a2∈R）②、在①的限制下，所有“≥”或“≤”中取“=”的充要条件是a1=a2=……=an用心爱心专心a12+a22≥2a1a2a13+a23+a33≥3a1a2a3≥≥对于n个正数而言，积定值则和有最小值，和定值则积有最大值a1n+a2n+…+ann≥na1a2…an≥a1a2…an≤a1a2…an≤≥n2≥③、在应用均值不等式求最值时，控制到项数（或因式）最多为3项的（二）、正例同化例1、如果a、b∈R+，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2（课本例题）说明：该例题课本上已给出了证法一、证法二（分析法、综合法）这里再用均值不等式探索另外两种证法。证法三：∵a、b∈R+，且a≠b则a3+b3=[（a3+a3+b3）+（a3+b3+b3）]＞（）=a2b+ab2∴a3+b3＞a2b+ab2证法四：a3+b3=（a+b）（a2+b2-ab）＞（a+b）（2ab-ab）=a2b+ab2∴a3+b3＞a2b+ab2例2、已知：0＜x＜，求函数y=x（1-3x）的最大值分析一、原函数式可化为：y=-3x2+x，利用二次函数求某一区间的最值解法一、（利用二次函数法可获得求解）（解略）分析二、挖掘隐含条件，∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜，则1-3x＞0；可用均值不等式法解法二、∵0＜x＜，∴1-3x＞0∴y=x（1-3x）=3x（1-3x）≤（）2=当且仅当3x=1-3x即x=时y大=例3、求函数y=4sinx·cos2x的最值分析：利用sin2x+cos2x=1进行本方法，凑出和为定值，才能使用均值不等式求最值解：∵y2=16sin2x·cos2x·cos2x=8（2sin2x·cos2x·cos2x）≤8（）3=8*=∴y2≤，当且仅当2sin2x=cos2x即tgx=±时，取“=”号∴y大=y小=-用心爱心专心例4、已知：a、b、c都是小于1的正数，求证：（1-a）b、（1-b）c、（1-c）a中至少有一个不大于思路：用反证法，配凑整理后用均值不等式证法一、假设（1-a）b＞，（1-b）c＞，（1-c）a＞∵a、b、c∈（0，1），则3=[（1-a）+b]+[（1-b）+c]+[（1-c）+a]≥＞=3即3＞3，这是矛盾的，∴假设不成立，即原结论正确证法二、假设（1-a）b＞，（1-b）c＞，（1-c）a＞则（1-a）b（1-b）c（1-c）a＞……………………①又（1-a）b（1-b）c（1-c）a≤==这与①是矛盾的∴假设不成立，即原结论正确证法三、思路与法1、法2同，但变式方法不同（过程略）小结：1、利用均值不等式放缩不等式的常用辅助技巧是添项、拆项2、利用均值不等式求最值问题的常用辅助技巧是配凑和（或积）为定值（三）、反例训应例5、求y=sinx+的最小值，[x∈（0，π）]错解，∵x∈（0，π）∴sinx＞0∴y=sinx+≥=∴ymix=错因：y=的充要条件是：sinx=，即sin2x=5，这是不存在的。正解：∵x∈（0，π）∴sinx＞0又y=sinx+=sinx+≥2+当且仅当sinx=即sinx=1时，取“=”号，而此时也有最小值4∴当sinx=1时，ymix=6用心爱心专心例6、已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值错解，∵1=2x+y≥∴≤即≥∴≥≥=即的最小值为错因：过程中两次运用了均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。正解1：∵2x+y=1∴==2+++1≥当且仅当=即y=时，取“=”号而y=x=2x+y=1y=即此时ymix=正解2：∵==3++（以下同1）正解3：设=t即=t2tx2-（1+t）x2+1=0y=1-2x再用方程根的分布方法求解（略）小结：用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的诸条件是否相容。（四）练习强化（用投影打出，此略）分三个层次的练习：⑴堂上练习，⑵课外作业，⑶选做题用心爱心专心
