高中数学：1.2《简单复合函数的导数》教案（苏教版选修2-2）VIP专享VIP免费

课题：§1.2.3简单复合函数的导数教学目的：知识与技能：理解掌握复合函数的求导法则.过程与方法：能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导情感、态度与价值观：培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：提供一个舞台,让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。教学过程：学生探究过程：一、复习引入：1.常见函数的导数公式：0'C；1)'(nnnxx；xxcos)'(sin；xxsin)'(cos2.法则1)()()]()(['''xvxuxvxu．法则2[()()]'()()()'()uxvxuxvxuxvx,[()]'()CuxCux法则3'2''(0)uuvuvvvv二、讲解新课：1.复合函数:由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(ufy与)(xu复合而成的函数一般形式是)]([xfy，其中u称为中间变量．2.求函数2(32)yx的导数的两种方法与思路：方法一：22[(32)](9124)1812xyxxxx；方法二：将函数2(32)yx看作是函数2yu和函数32ux复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2uyuu，(32)3xux两个导数相乘，得232(32)31812uxyuuxx，从而有xuxuyy'''用心爱心专心对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求yu′和u′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且xuxuyy'''或f′x((x))=f′(u)′(x).证明：（教师参考不需要给学生讲）设x有增量Δx，则对应的u，y分别有增量Δu，Δy，因为u=φ(x)在点x可导，所以u=(x)在点x处连续.因此当Δx→0时，Δu→0.当Δu≠0时，由xuuyxy.且xyuyux00limlim.∴xuuyxuuyxuuyxyxuxxxx000000limlimlimlimlimlim即xuxuyy'''(当Δu＝0时，也成立)4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．三、讲解范例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？⑴32)2(xy；⑵2sinxy；⑶)4cos(xy；⑷)13sin(lnxy．解：⑴函数32)2(xy由函数3uy和22xu复合而成；⑵函数2sinxy由函数uysin和2xu复合而成；⑶函数)4cos(xy由函数uycos和xu4复合而成；⑷函数)13sin(lnxy由函数uyln、vusin和13xv复合而成．说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．例2写出由下列函数复合而成的函数：⑴uycos，21xu；⑵uyln，xuln．解：⑴)1cos(2xy；⑵)ln(lnxy．例3求5)12(xy的导数．用心爱心专心解：设5uy，12xu，则xuxuyy''')'12()'(5xux2)12(52534xu4)12(10x．注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例4求f(x)=sinx2的导数.解：令y=f(x)=sinu;u=x2∴xuxuyy'''=(sinu)′u·(x2)x′=cosu·2x=cosx2·2x=2xcosx2∴f′(x)=2xcosx2例5求y=sin2(2x+3)的导数.分析:设u=sin(2x+3)时，求u′x，但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+3.解：令y=u2，u=sin(2x+3)，再令u=sinv，v=2x+3∴xuxuyy'''=y′u(u′v·v′x)∴y′x=y′u·u′v·v′x=(u2)′u...