1数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展已知方程(1)x2－2x＋2＝0，(2)x2＋1＝0.问题1：方程(1)在有理数数集中有解吗？实数范围内呢？提示：在有理数集中无解；在实数范围内有解，其解为.问题2：方程(2)在实数集中有解吗？提示：没有．问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？提示：有解x＝i，但不是实数．1．复数的概念2．复数集复数的全体组成的集合，记作C.显然RC.复数相等问题1：若a，b，c，d∈R且a＝c，b＝d，复数a＋bi和c＋di相等吗？提示：相等．问题2：若a＋bi＝c＋di，那么实数a，b，c，d有何关系？提示：a＝c，b＝d.复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.复平面及复数的几何意义问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内的点表示吗？提示：可以．问题2：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有何对应关系？与平面直角坐标系中的点Z(a，b)有何对应关系？提示：一一对应，一一对应．问题3：在平面直角坐标系中点Z(a，b)与向量OZ＝(a，b)有何对应关系？提示：一一对应关系．问题4：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与OZ有何对应关系？提示：一一对应．1．复平面(1)当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．(2)任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．这是复数的几何意义．一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ＝(a，b)是一一对应的．2．复数的模设复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|＝.1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，b∈R这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．只有两个复数都是实数时才能比较大小，否则没有大小关系．复数的基本概念[例1]复数z＝(m2－3m＋2)＋(m2＋m－2)i，当实数m为何值时，(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数？[思路点拨]分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．[精解详析](1)当m2＋m－2＝0，即m＝－2或m＝1时，z为实数．(2)当m2＋m－2≠0，即m≠－2且m≠1时，z为虚数．(3)当即m＝2时，z为纯虚数．[一点通]复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0.④z＝0⇔a＝0，且b＝0.1．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．2．若复数z＝(x2－1)＋i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1B．0C．1D．－1或1解析：选A由复数z＝(x2－1)＋i为纯虚数得解得x＝－1.复数的相等[例2](1)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，x，y∈R，求x与y；(2)设z1＝1＋sinθ－icosθ，z2＝＋(cosθ－2)i.若z1＝z2，求θ.[思路点拨]先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解．[精解详析](1)根据复数相等的充要条件，得方程组得(2)由已知，得解得则θ＝2kπ(k∈Z)．[一点通]复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．3．若ai＋2＝b－i(a，b∈R)，i为虚数单位，则a2＋b2＝()A．0B．2C.D．5解析：选D由题意得则a2＋b2＝5.4．若关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m＝()A.B.iC．－D．－i解析：选A因...
