第4章 Lyapunov稳定性分析VIP免费

自主技术与智能控制研究中心线性系统理论基础第四章Lyapunov稳定性分析自主技术与智能控制研究中心内容与要点内容要点一．Lyapunov稳定性概念平衡点,稳定性,渐近稳定性,全局渐近稳定性二．Lyapunov稳定性判据稳定性判据,渐近稳定性判据,全局渐近稳定性判据三．连续时间线性系统的稳定性判据间接法判据，直接法判据四．离散时间线性系统的稳定性判据间接法判据，直接法判据自主技术与智能控制研究中心一、Lyapunov稳定性概念1、平衡状态（平衡点）在没有外界干扰的情况下，系统保持静止不动的状态称为平衡状态。系统的平衡状态的计算线性系统的平衡状态：(,)xfxt()0eexfxt当且仅状态向量是平衡状态它满足,当xAx0eeAxx方程的解自主技术与智能控制研究中心一、Lyapunov稳定性概念例:单摆两个平衡点自主技术与智能控制研究中心一、Lyapunov稳定性概念121221223341143{}{()}{()}{}xxxmlgxImluxxxMmmglxmlu例：小车倒立摆的平衡点1234xxxxxxu121222334143{}{()}xxxmlgxxxxMmmglx234000xxx自主技术与智能控制研究中心一、Lyapunov稳定性概念2、Lyapunov稳定性定义()Lyapunov().eeexxfxxtxx称为系统的，如果对任意运动轨迹，只要初始状态离，整很近不会远离个轨迹就平衡点衡点稳定平自主技术与智能控制研究中心一、Lyapunov稳定性概念0()Lyapunov()()()()().exfxxxtxtSxtS的平衡点为稳定的，如果对任意0,存在0,使得对任意运动轨迹，只要初始状态满足，就义：有稳定性的定ex0x)(S)(S()xt(){:||||}nenexSxxxRR中以为圆心的开的超球：2222211)()()(||||nnnyxyxyxyx中的距离R22212||||nnxxxxR中的范数：自主技术与智能控制研究中心一、Lyapunov稳定性概念3、Lyapunov渐近稳定性定义平衡点称为渐近稳定的，如果满足：1）Lyapunov稳定性；2）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态：etxtx)(lim)(S)(Sex0tt1x2x自主技术与智能控制研究中心一、Lyapunov稳定性概念4、Lyapunov大范围（全局）渐近稳定性定义平衡点称为渐近稳定的，如果满足：1）Lyapunov稳定性；2）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态；3）条件2）对于任意初始状态成立。自主技术与智能控制研究中心一、Lyapunov稳定性概念5、Lyapunov不稳定011()Lyapunov||()||()||()||.eeexfxxxtxxttxtx的平衡点为不稳定的，如果存在0,对任意0,都有初始状态满足的运动轨迹，在某个时刻使得ex0x)(S()xt)(S1t自主技术与智能控制研究中心二、Lyapunov稳定性判据1、Lyapunov稳定性判别的基本方法间接法（第一方法）通过求出系统的解来判断直接法（第二方法,Lyapunov函数方法）通过构造一种广义能量函数（称为Lyapunov函数）并利用系统向量场f(x)来判断。()xfx我们限制考虑时不变系统自主技术与智能控制研究中心二、Lyapunov稳定性判别2、Lyapunov函数（广义能量函数）Lyapunov函数的定义1:Lyapunov()()()()(2.1)nnVVxVxVxVxVxxxxRR一个标量函数称为函数，如果满足是正定的；具有连续的偏导数））Lyapunov||||()3.xVx一个函数称为半径无穷大的，如果它进当时，）一步满足自主技术与智能控制研究中心二、Lyapunov稳定性判别二次型Lyapunov函数对称矩阵211111212112212122222211221112112122221212()(,,)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnTVxVxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaaaxaaaxxxxaaaxxAx22,mvm1212例如：匀速直线运动的物体的动能为匀速旋转运动物体的动能为。自主技术与智能控制研究中心二、Lyapunov稳定性判别标量函数的定号性1)()()00;()002)()()00;()003()()4()()VxVxxVxxVxVxxVxxVxVxVxVx正定：若若半正定：若若）负定：若正定）半负定：若半正定自主技术与智能控制研究中心二、Lyapunov稳定性判别二次型函...