最短路径问题教学设计玉泉二中张艳【教学目标】1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题。2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验。3、让学生经历将实际问题抽象为数学问题来解决的过程，培养学生问题解决的能力。【重点难点】重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。【教学手段】多媒体【知识准备】1、如图1，从A点到B点最短的路径是，理由：。2、如图2，点A与点B关于直线CD对称，点P是直线CD上任意一点，线段PA与线段PB的数量关系是。设计意图：本节课主要通过“两点之间，线段最短”和“轴对称性”来解决生活中出现的部分最短路径问题，直接出示，目标明确，为后面学生对问题的探究作好铺垫。【自主探究】1、“异侧”最短路径问题情境1：济源正在进行天燃气管道改造（如图)。现需要向A、B两个小区供气，问：当A、B异侧时，泵站应修在主管道L的什么地方，可使所用的输气管线最短？师：你能用自己的语言说明这个实际问题抽象为数学问题吗？AB图1①③②④BACDPC1生：我们可以把两个小区看成两个点，把管道l看成一条直线，找到一个点C使它到A、B两点之和最短。师：请尝试操作。（学生尝试作图）生：根据“两点之间，线段最短”，可连接A、B两点交直线l于点C,则点C即为泵站的位置。设计意图：问题1从生活情景入手，让学生经历把实际问题抽象为数学问题的意识，体会用“两点之间，线段最短”解决“异侧”最短路径问题。【互动释疑】2、“同侧”最短路径问题情境2：济源正在进行天燃气管道改造（如图)。现需要向A、B两个小区供气，问：当A、B同侧时，泵站应修在主管道L的什么地方，可使所用的输气管线最短？（1）画一画：问题1：当小区A、B由异侧变为同侧时，泵站的位置在哪里？（师生活动：学生独立思考，画图分析，教师巡视，发现共性作图方法，展示台出示共性问题。）（2）猜一猜：问题2：图1、图2这两种画法，哪个路径较短？你是怎样做的？师：小组合作，猜想结果，尝试说明理由。（师生活动：小组合作，汇报结果，得出猜想结论。）2¡¤lB′B′BA¡¤CC（3）证一证：师：根据轴对称做出的图形中AC+BC是否最短呢，我们在直线上任取一点C′（与点C不重合），必须验证后才知道。验证：在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明:由轴对称的性质知，BC=B’C，BC′=B’C’．∴AC+BC=A’B’，AC′+BC′=AC’+B’C’．在△AB′C′中AB’＜AC′+B′C′∴AC+BC＜AC′+BC′即AC+BC最短师：图中我们做点B的对称点，那做A的对称点，行吗？（教师板书）归纳提升利用我们学过的“两点之间，线段最短”、轴对称性及三角形三边关系，并把“同侧”最短路径问题转化为“异侧”路径问题。同时也经历了“操作——猜想——验证”的过程，那究竟掌握得怎么样呢，CB′P3让我们学以致用。设计意图：通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想。通过学生课堂生成的资源，让由“垂线段最短”作出的错误图形与正确图形对比，经历合作探究，“操作——猜想——验证”的过程，为下一步的“应用”打下基础。【反馈拓展】1、周长最短问题（一边一定）情境3：如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路径。旅游船的最短路径：PQ+QD+DP【课堂小结】设计意图：让学生体会三角形周长最短问题即转化为同侧问题，进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法，再次深刻体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值。2、课后作业：（1）必做题：①相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？P′D4②课本93页：15题③如图公园内有两条小河，两河形成的半岛上有一处古迹P,现计划在...
