第2课时定点与定值问题题型一定点问题例1(2018·湖州模拟)已知椭圆＋y2＝1(a>0)的上顶点为B(0，1)，左、右焦点分别为F1，F2，BF2的延长线交椭圆于点M，BM＝4F2M.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l交椭圆于P，Q两点，且kBP＋kBQ＝m(m为非零常数)，求证：直线l过定点.(1)解方法一设M(x0，y0)，F2(c，0)，则由BM＝4F2M，得即代入椭圆方程得＋＝1，又a2＝c2＋1，所以a2＝2，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.方法二如图，连接BF1，MF1，设|BF1|＝|BF2|＝3n，则|F2M|＝n，又|MF1|＋|MF2|＝|BF1|＋|BF2|＝6n，所以|MF1|＝5n，由|BF1|∶|BM|∶|MF1|＝3∶4∶5，得∠F1BM＝90°，则∠OBF2＝45°，a2＝2b2＝2，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，x1＝x2≠0，y1＝－y2，所以kBP＋kBQ＝＋＝－＝m，x1＝－，即直线l：x＝－.当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋t，把y＝kx＋t代入椭圆的方程并整理得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，Δ＝16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)＝8(2k2＋1－t2)>0，所以kBP＋kBQ＝＋＝＋＝＝＝m，整理得2k＝m(t＋1)，t＝－1，所以直线l的方程为y＝kx＋－1＝k－1，过定点.综上，直线l过定点.思维升华圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.跟踪训练1(2018·浙江重点中学调研)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，点P在椭圆上，tan∠PF2F1＝2且△PF1F2的面积为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点M是椭圆上任意一点，A1，A2分别是椭圆的左、右顶点，直线MA1，MA2分别与直线x＝交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆交x轴于定点，并求该定点的坐标.解(1)由tan∠PF2F1＝2，得sin∠PF2F1＝，cos∠PF2F1＝.由题意得解得所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝4＋2＝6，a＝3，结合2c＝2，c＝，得b2＝4，故椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由(1)得A1(－3，0)，A2(3，0)，设M(x0，y0)，则直线MA1的方程为y＝(x＋3)，与直线x＝的交点为E，直线MA2的方程为y＝(x－3)，与直线x＝的交点为F.设以EF为直径的圆交x轴于点Q(m，0)，则QE⊥QF，从而kQE·kQF＝－1，即·＝－1，即＝－2，又＋＝1，得m＝±1，故以EF为直径的圆交x轴于定点，该定点的坐标为，.题型二定值问题例2(2018·北京)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，QM＝λQO，QN＝μQO，求证：＋为定值.(1)解因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.依题意知Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<0或0b>0)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且|F1F2|＝4，∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设N(0，2)，过点P(－1，－2)作直线l，交椭圆C于异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值.(1)解在△F1MF2中，由|MF1||MF2|sin60°＝，得|MF1||MF2|＝.由余弦定理，...
