高三数学数形结合思想在解题中的应用教案2007-4-23教学目标:1.利用图形来处理方程及函数问题和不等式问题,求函数的值域,最值等问题时能运用数形结合思想,避免复杂的计算与推理,在解题时能提高效率。2.增养学生问题转化的意识。重点:“以形助数”,培养学生在解题过程中运用数形结合的意识。难点:问题的转化。利用多媒体形象地展示图形在解题中的应用,克服解题中的困难.数形结合作为一种重要的数学思想,历年来一直是高考考查的重点之一.这种思想体现在解题中,就是指在处理数学问题时,能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索,促使抽象思维和形象思维的和谐复合,通过对规范图形或示意图形的观察分析,化抽象为直观,化直观为精确,从而使问题得到简捷解决.本节课着重研究在函数与不等式问题中,在求函数的值域、最值问题时,运用数形结合的思想,使某些问题直观化、生动化、能够变抽象思维为形象思维,达到发现解题途径,避免复杂的计算和推理,简化解题过程的目的。一、基础训练:1.方程lgx=sinx的实根的个数为[]A.1个B.2个C.3个D.4个解:画出y=lgx和y=sinx在同一坐标系中的图象,两图象有3个交点,选C.2.函数y=a|x|与y=x+a的图象恰有两个公共点,则实数a的取值范围是[]A.(1,+∞)B.(-1,1)C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)解:画出y=a|x|与y=x+a的图象,两图象有两个交点的情形如下:情形1:=>a>1情形2:=>a<-1选D3.不等式>x的解集是______________.解法一:(常规解法)原不等式等价于(Ⅰ),或(Ⅱ),解(Ⅰ)得0≤x<2;解(Ⅱ)得-2≤x<0.综上可知,原不等式的解集为{x|-2≤x<0}∪{x|0≤x<2}={x|-2≤x<2}解法二:(数形结合解法)1令y1=,y2=x,则不等式>x的解就对应于:函数y1=的图象在y2=x上方的图象的部分在x轴上的射影.如图,不等式的解集为{x|xAkx的解集为M,且M{x|-2≤x<2},则k∈____________.答案:[1,+∞)4.函数y=的值域为_______________.解法一:(代数法)由y=得ycosx–2y=sinx+2,∴sinx–ycosx=-2y–2,∴sin(x+φ)=-2y–2,∴sin(x+φ)=,而|sin(x+φ)|≤1,∴||≤1,解不等式得≤y≤,∴函数的值域为[,].解法二(几何法):y=的形式类似于斜率公式k=,∴y=表示过两点P0(2,-2)及P(cosx,sinx)的直线的斜率,由于点P在单位圆x2+y2=1上(如图),显然≤y≤,设过P0的圆的切线方程为y+2=k(x–2),则有=1,解得k=,即=,=∴≤y≤,∴函数的值域为[,]5.过圆M:(x-1)2+(y-1)2=1外一点P向此圆作两条切线,当这两切线互相垂直时,动点P的轨迹方程是_____________.解:如图,设切点为A、B,连结MA、MB、PM,则MA⊥AP,MB⊥PB,又AP⊥PB,且|PA|=|PB|,那么MBPA是正方形,从而|PM|=|MA|=.设动点P(x,y),则(x-1)2+(y-1)2=2,这就是所求的轨迹方程.二、例题:例1.若关于x的方程x2+2kx+3k=0的两根都在-1和3之间,求k的取值范围.解:解法一:令f(x)=x2+2kx+3k,其图象与x轴交点的横坐标就是方程f(x)=0的解,由y=f(x)的图象可知,要使两根都在-1和3之间,只需,∴k∈(-1,0].解法二:设函数f(x)=x2,g(x)=-2k(x+),问题转化为两函数图象的两个交点的横坐标必须在-1和3之间.画出两函数图象(如图),而PA、PB的斜率相等,都是2,∴0≤-2k<2,即k∈(-1,0]例2.定圆C:(x–3)2+(y–3)2=()2上有动点P,它关于定点A(7,0)的对称点为Q,点P绕圆心C依逆时针方向旋转120°后到达点R,求线段RQ长度的最大值和最小值.2MOyxBPAAxyORQCPPBAOyx[分析]本题一般解法是,设点P(3+cosα,2+sinα),然后求出点Q、R的坐标,最后用两点间距离公式,求出|RQ|的最值.但这种解法运算量较大,还易出错.观察图,在△PRQ中,欲求|RQ|,因A是PQ的中点,易想起三角形的中位线.解:取PR的中点B,连结BA,则|RQ|=2|AB|.又B是弦RP的中点,连CB,则CB⊥RP,∠BCP=∠PCR=60°,∴|BC|=|CP|=.∴点B的轨迹是以C为圆心,为半径的圆.这时求|QR|的最值,转化为求点A与所作圆上点的距离的最值.过C、A作直线,交所作圆于B1、B2两点,则由平面几何知,|AB|的最大值为|AB2|=...