高三数学数形结合思想在解题中的应用教案2007-4-23教学目标：1．利用图形来处理方程及函数问题和不等式问题，求函数的值域，最值等问题时能运用数形结合思想，避免复杂的计算与推理，在解题时能提高效率。2．增养学生问题转化的意识。重点：“以形助数”，培养学生在解题过程中运用数形结合的意识。难点：问题的转化。利用多媒体形象地展示图形在解题中的应用，克服解题中的困难.数形结合作为一种重要的数学思想，历年来一直是高考考查的重点之一.这种思想体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决.本节课着重研究在函数与不等式问题中，在求函数的值域、最值问题时，运用数形结合的思想，使某些问题直观化、生动化、能够变抽象思维为形象思维，达到发现解题途径，避免复杂的计算和推理，简化解题过程的目的。一、基础训练：1．方程lgx=sinx的实根的个数为[]A.1个B.2个C.3个D.4个解：画出y=lgx和y=sinx在同一坐标系中的图象，两图象有3个交点，选C.2．函数y=a|x|与y=x+a的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是[]A．(1，+∞)B．(-1，1)C．(-∞，-1]∪[1，+∞)D．(-∞，-1)∪(1，+∞)解：画出y=a|x|与y=x+a的图象，两图象有两个交点的情形如下：情形1：=>a>1情形2：=>a<-1选D3．不等式>x的解集是______________.解法一：（常规解法）原不等式等价于（Ⅰ），或（Ⅱ），解（Ⅰ）得0≤x<2；解（Ⅱ）得-2≤x<0.综上可知，原不等式的解集为{x|-2≤x<0}∪{x|0≤x<2}={x|-2≤x<2}解法二：（数形结合解法）1令y1=，y2=x，则不等式>x的解就对应于：函数y1=的图象在y2=x上方的图象的部分在x轴上的射影.如图，不等式的解集为{x|xAkx的解集为M，且M{x|-2≤x<2}，则k∈____________.答案：[1，+∞）4．函数y=的值域为_______________.解法一：（代数法）由y=得ycosx–2y=sinx+2，∴sinx–ycosx=-2y–2，∴sin(x+φ)=-2y–2，∴sin(x+φ)=，而|sin(x+φ)|≤1，∴||≤1，解不等式得≤y≤，∴函数的值域为[，].解法二（几何法）：y=的形式类似于斜率公式k=，∴y=表示过两点P0(2，-2)及P(cosx，sinx)的直线的斜率，由于点P在单位圆x2+y2=1上（如图），显然≤y≤，设过P0的圆的切线方程为y+2=k(x–2)，则有=1，解得k=，即=，=∴≤y≤，∴函数的值域为[，]5．过圆M：(x-1)2＋(y-1)2=1外一点P向此圆作两条切线，当这两切线互相垂直时，动点P的轨迹方程是_____________．解：如图，设切点为A、B，连结MA、MB、PM，则MA⊥AP，MB⊥PB，又AP⊥PB，且|PA|=|PB|，那么MBPA是正方形，从而|PM|=|MA|=.设动点P(x，y)，则(x－1)2+(y-1)2=2，这就是所求的轨迹方程．二、例题：例1．若关于x的方程x2+2kx+3k=0的两根都在-1和3之间，求k的取值范围.解：解法一：令f(x)=x2+2kx+3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f(x)=0的解，由y=f(x)的图象可知，要使两根都在-1和3之间，只需，∴k∈(-1，0].解法二：设函数f(x)=x2，g(x)=-2k(x+)，问题转化为两函数图象的两个交点的横坐标必须在-1和3之间.画出两函数图象（如图），而PA、PB的斜率相等，都是2，∴0≤-2k<2，即k∈(-1，0]例2．定圆C：(x–3)2+(y–3)2=()2上有动点P，它关于定点A(7，0)的对称点为Q，点P绕圆心C依逆时针方向旋转120°后到达点R，求线段RQ长度的最大值和最小值．2MOyxBPAAxyORQCPPBAOyx[分析]本题一般解法是，设点P(3+cosα，2+sinα)，然后求出点Q、R的坐标，最后用两点间距离公式，求出|RQ|的最值．但这种解法运算量较大，还易出错．观察图，在△PRQ中，欲求|RQ|，因A是PQ的中点，易想起三角形的中位线.解：取PR的中点B，连结BA，则|RQ|=2|AB|．又B是弦RP的中点，连CB，则CB⊥RP，∠BCP=∠PCR=60°，∴|BC|=|CP|=.∴点B的轨迹是以C为圆心，为半径的圆.这时求|QR|的最值，转化为求点A与所作圆上点的距离的最值．过C、A作直线，交所作圆于B1、B2两点，则由平面几何知，|AB|的最大值为|AB2|=...
