1/7专题：椭圆的离心率一，利用定义求椭圆的离心率（ace或221abe）1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率e322，椭圆1422myx的离心率为21，则m[解析]当焦点在x轴上时，32124mm；当焦点在y轴上时，316214mmm，综上316m或33，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是534，已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆122nymx的离心率为[解析]由02222mnnmnnmn42nm，椭圆122nymx的离心率为225，已知)0.0(121nmnm则当mn取得最小值时，椭圆12222nymx的的离心率为236，设椭圆2222byax=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是21。二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e1，在RtABC中，90A，1ACAB，如果一个椭圆过A、B两点，它的一个焦点为C，另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率36e2，如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线1AB与BF交于D,且901BDB,则椭圆的离心率为()[解析]eaccacbab221)(2153，以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率是132/7变式（1）：以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是134,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？解： ｜F1F2｜=2c｜BF1｜=c｜BF2｜=3cc+3c=2a∴e=ca=3-1变式（1）：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，使△OPF1为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF2,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2=90°图形如上图，e=3-1变式（2）椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥X轴，PF2∥AB,求椭圆离心率？解： ｜PF1｜=b2a｜F2F1｜=2c｜OB｜=b｜OA｜=aPF2∥AB∴｜PF1｜｜F2F1｜=ba又 b=a2-c2∴a2=5c2e=55变式(3):将上题中的条件“PF2∥AB”变换为“PO∥AB(O为坐标原点)”相似题：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?解：｜AO｜=a｜OF｜=c｜BF｜=a｜AB｜=a2+b2a2+b2+a2=(a+c)2=a2+2ac+c2a2-c2-ac=0两边同除以a2e2+e-1=0e=-1+52e=-1-52(舍去)变式(1):椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，e=-1+52,A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°引申：此类e=5-12的椭圆为优美椭圆。性质：（1）∠ABF=90°（2）假设下端点为B1,则ABFB1四点共圆。（3）焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。变式(2):椭圆12222byax(a＞b＞0)的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率e=215．提示：内切圆的圆心即原点，半径等于c，又等于直角三角形AOB斜边上的高，∴由面积得：22barab，但cr4，设椭圆）（0ba1byax2222的左、右焦点分别为21FF、，如果椭圆上存在点P，使90PFF21，求离心率e的取值范围。解：设0,cF,0,cF,y,xP21法1：利用椭圆范围。由PFPF21得222cyx，将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得2222222babacax2222)(eaca。3/7由椭圆的性质知22ax0，得），以122[e。附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法1类似）法2：判别式法。由椭圆定义知||||||||||||PFPFaPFPFPFPFa121222122224，又因为9021PFF，可得222122214||||||cFFPFPF，则)(2||||2221caPFPF22b，1PF，2PF是方程02222bazz的两个根，则22210)(84222222eacecaa解法3：正弦定理设记PFFPFF1221，，由正弦定理有||sinsin||||90sin||sin||sin||21212121FFPFPFFFPFPF又因为cFFaPFPF2||2||||2121，，且90则)4sin(21cossin1sinsin1ace204344则1)4sin(22，2)4sin(21所以122e解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212aPFPF||||平方后得42228212221212221222aPFPFPFPFPFPFFFc||||||||(||||)||得ca2212所以有，）e[221解法6：巧用图形的几何特性由FPF1290，知点P在以||FFc122为直径的圆上。又点P在...
