第七知识块立体几何初步第1课时空间集合体一、填空题1．如下图所示，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________．(要求：把可能的图的序号都填上)解析：由正投影的定义，四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图③；其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图②；其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是②，故①④错误．答案：②③2．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面上的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且________的三棱锥是正三棱锥．答案：侧棱相等3．两条直角边分别为3cm和4cm的直角三角形绕一边旋转而形成的圆锥，其底面积为________cm2，母线长为________cm.解析：以直角边3cm为轴旋转而形成的圆锥底面半径为4cm，高为3cm；以直角边4cm为轴旋转而形成的圆锥的底面半径为3cm，高为4cm.故底面面积为9πcm2或16πcm2，母线为5cm.答案：9π或16π54．在半径为25cm的球内有一个截面，它的面积是49πcm2，如图所示，则球心到这个截面的距离为________．解析：由题意知圆O′的半径为7cm.则球心到这个截面的距离OO′＝＝24(cm)．答案：24cm5．水平放置的△ABC的斜二测直观图为△A′B′C′，如下图所示，A′C′＝3，B′C′＝2，求△ABC中AB边上的中线的长度为________．解析：直观图△A′B′C′还原为平面图形△ABC，如右图，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∴CD＝.即△ABC中AB边上的中线的长度为.答案：6．一个四边形ABCD的直观图是上底、腰长均为1，且一个底角为45°的等腰梯形，求原四边形ABCD的面积等于________．解析：如图①为直观图，图②为实际图形．在①中，A′B′＝1·cos45°×2＋1＝＋1，所以在②中AB＝＋1，在①中A′D′＝1，在②中AD＝2，易知ABCD为直角梯形，又DC＝D′C′＝1，所以SABCD＝(CD＋AB)·AD＝(1＋＋1)·2＝＋2.答案：＋27．若已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么△ABC的面积为________．解析：如右图是△ABC的平面直观图△A′B′C′，作C′D′∥y′轴交x′轴于D′，则C′D′对应△ABC的高CD，∴CD＝2C′D′＝2··C′O′＝2·a＝a.而AB＝A′B′＝a，∴S△ABC＝·a·a＝a2.答案：a2二、解答题8．正四棱台AC1的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．解：如右图所示，设棱台的两底面的中心分别是O1、O，B1C1和BC的中点分别是E1和E，连接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE，则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形．∵A1B1＝4cm，AB＝16cm，∴O1E1＝2cm，OE＝8cm，O1B1＝2cm，OB＝8cm，∴B1B2＝O1O2＋(OB－O1B1)2＝361cm2，E1E2＝O1O2＋(OE－O1E1)2＝325cm2，∴B1B＝19cm，E1E＝5cm.答：这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为5cm.9．正四棱锥的高为，侧棱长为，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？解答：如右图所示，正棱锥S—ABCD中高OS＝，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝，在Rt△SOA中，OA＝＝2，∴AC＝4.∴AB＝BC＝CD＝DA＝2.作OE⊥AB于E，则E为AB中点．连接SE，则SE即为斜高，则SO⊥OE.在Rt△SOE中，∵OE＝BC＝，SO＝，∴SE＝，即侧面上的斜高为.10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解答：圆台的轴截面如右图所示，设圆台上下底面半径分别为xcm,3xcm.延长AA1交OO1的延长线于S，在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，∴SO＝AO＝3x，∴OO1＝2x，又S轴截面＝(6x＋2x)·2x＝392，∴x＝7.故圆台的高OO1＝14cm，母线长l＝O1O＝14cm，两底面半径分别为7cm,21cm.
