第3课时线性回归方程一、填空题1．(·江苏省海门调研)某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表P(K2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学做出了以下的判断：p：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”q：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒r：这种血清预防感冒的有效率为95%s：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列命题中，真命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)(1)p∧綈q；(2)綈p∧q；(3)(綈p∧綈q)∧(r∨s)；(4)(p∨綈r)∧(綈q∨s)．答案：(1)(4)2．(江苏省高考名校联考信息优化卷)经济研究小组对全国50个中小城市职工人均工资x与人均消费y进行了统计调查，发现y与x具有相关关系，回归方程为y＝0.66x＋1.562(单位：千元)．若某城市居民消费水平为7.675，估计该城市消费额占人均工资收入的百分比约为________．解析：由7.675＝0.66x＋1.562得x＝≈9.2621，消费额占人均工资收入的百分比为≈0.8286≈83%.答案：83%3．(盐城调研)已知x，y之间的一组数据如下表：x23456y34689对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y＝x＋1、②y＝2x－1、③y＝x－、④y＝x，则根据最小二乘法的思想拟合程度最好的直线是________(填序号)．解析：由题意知＝4，＝6，∴b＝＝，∴a＝－b＝－，∴y＝x－.答案：③4.如图所示有5组(x，y)数据，去掉数据后，剩下的四组数据的线性相关系数最大．解析：若去掉D点，A、B、C、E很靠近一条直线．答案：D(3,10)5.(江苏省高考命题研究专家原创卷)若根据儿童的年龄x(岁)和体重y(kg)，得到利用年龄预报平均体重的线性回归方程是y＝2x＋7，已知5名儿童的年龄分别是3,4,5,6,7，则这5名儿童的平均体重大约是________kg.解析：由题知，这5名儿童的平均年龄为5岁，则这5名儿童的平均体重大约是2×5＋7＝17(kg)．答案：176．(·广东深圳模拟)已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y(万元)，有如下统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若y对x呈线性相关关系，则回归直线方程y＝bx＋a表示的直线一定过定点________．解析：回归直线一定过点(，)．∵＝＝4，＝＝5，∴回归直线方程y＝bx＋a一定过定点(4,5)．答案：(4,5)二、解答题7．一般来说，一个人脚越长，他的身高就越高．现对10名成年人的脚长x与身高y进行测量，得如下数据(单位：cm)：x20212223242526272829y141146154160169176181188197203作出散点图后，发现散点在一条直线附近．经计算得到一些数据：＝24.5，＝171.5，(xi－)(yi－)＝577.5，(xi－)2＝82.5.某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长26.5cm，请你估计案发嫌疑人的身高．解：本题是统计中的散点图问题，利用公式可解．b＝＝＝7，a＝－b＝0.故y＝7x，当x＝26.5时，y＝185.5.1．(江苏南通模拟)在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值如下表：x(s)510152030405060708090y(μm)610101316171923252946根据上表我们可以得到腐蚀深度y与腐蚀时间x的回归直线方程为y＝0.304x＋5.36，则回归系数b＝0.304的意义是____________________________________．答案：腐蚀时间x每增加一个单位，腐蚀深度平均增加0.304个单位2．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)标准煤的几组对照数据.x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解：(1)由题设所给数据，可得散点图如上图：(2)由对照数据，计算得：=86，==4.5，==3.5，已知=66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：b===0.7，a=-b=3.5-0.7×4.5=0.35.因此，所求的线性回归方程为y=0.7x+0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：90-(0.7×100+0.35)=19.65(吨)标准煤．
