2016-2017学年度第一学期北京育才学校高三数学（理科）期中考试试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知全集UR，集合|(3)0Mxxx，则CMR（）．A．(,0)(3,)B．(0,3)C．,3D．0,32．下列函数中，在定义域内是减函数的是（）．A．1()2xfxB．()fxxC．1()fxxD．()tanfxx3．在极坐标系中，曲线2cos表示的图形是（）．A．过极点的直线B．关于极轴对称的图形C．关于极点对称的图形D．半径为2的圆4．函数π()sin()4fxxxR的图象的一条对称轴方程是（）．A．0xB．π4xC．3π4xD．π2x5．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中学生甲不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（）．A．120B．72C．48D．246．“函数2()fxxtxt在(,)内存在零点”是“0t≥”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数1,0,()1,0,xfxx≥则不等式(1)1xfx≥的解集为（）．A．1,B．,1C．,11,D．1,18．已知集合(,)|()Mxyyfx，若对于任意11(,)xyM，存在22(,)xyM，使得12120xxyy成立，则称集合M是“好集合”，给出下列4个集合：①1(,)Mxyyx②(,)|e2xMxyy③(,)|cosMxyyx④(,)|lnMxyyx其中所有“好集合”的序号是（）．A．②③B．①②④C．③④D．①③④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数i(35i)的虚部为__________．10．二项式6212xx的展开式中，常数项的值是__________．11．由直线π3x，π3x，0y与曲线cosyx围成的封闭图形的面积为__________．12．已知||1a，||2b，向量a与b的夹角为60，则||ab__________．13．若函数()(0,1)xfxaaa在2,1上的最大值为4，最小值为m，则m的值是__________．14．已知函数sin()xfxx．（1）判断下列三个命题的真假：①()fx是偶函数；②()1fx；③当3π2x时，()fx取得极小值．其中真命题有__________．（写出所有真命题的序号）（2）满足πππ666nnff的正整数n的最小值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．设ABC△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2a，3b，1cos3C．（1）求ABC△的面积．（2）求sin()CA的值．16．国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI）与空气质量等级对应关系如下表：空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染AQI值范围0,5050,100100,150150,200200,300300及以上下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市2015年3月某时刻实时监测到的数据：西部城市AQI数值东部城市AQI数值西安108北京104西宁92金门42克拉玛依37上海x鄂尔多斯56苏州114巴彦淖尔61天津105库尔勒456石家庄93AQI平均值：135AQI平均值：90（1）求x的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI数值的方差的大小关系（只需写出结果）．（2）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为，求的分布列和数学期望．17．已知函数2()lnfxxaxx，aR．（1）若3a，求函数()fx的单调区间．（2）若1x时，()0fx恒成立，求实数a的取值范围．18．已知函数2()2(3sincos)fxxx．（1）求π3f的值和()fx的最小正周期．（2）求函数在区间ππ,63上的最大值和最小值．19．已知函数()1e(0)xafxxx，其中e为自然对数的底数．（1）当2a时，求曲线()yfx在(1,(1))f处的切线与坐标轴围成的面积．（2）若函数()fx存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e，求a的值．20．已知函数()fx的定义域为(0,)，若()fxyx在(0,)上为增函数，则称()fx为“一阶比增函数”．（1）若2()fxaxax是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围．（2）若()fx是“一阶比增函数”，求证：1x,2(0,)x，1212()()()fxfxfxx．（3）若()fx是“一阶比增函数”，且()fx有零点，求证：()2013fx有解．
