数学史概论[1]5VIP免费

第5讲.冲破黑暗—文艺复兴与近代数学的兴起中江实验中学数学组一、一、中世纪的欧洲中世纪的欧洲第5讲.冲破黑暗—文艺复兴与近代数学的兴起三、三、解析几何的诞生解析几何的诞生二、二、向近代数学的过渡向近代数学的过渡•大约在公元500年左右才开始出现新文化•公元5~11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期出现一些水平低下的算术和几何教材：博埃齐：选编了《几何》、《算术》等教科书,《几何》仅包含《原本》的第一卷和第三、四卷的部分命题，以及一些简单的测量术；《算术》则是根据四百年前尼科马库斯的一本浅易的著作编写的。•比德(V.Bede,674~735)、热尔拜尔(Gerbert,约950~1003)等人也讨论过数学.前者研究过算术中的指算，据说后者可能把印度-阿拉伯数字带入欧洲。•直到12世纪，欧洲数学才出现复苏的迹象。这种复苏是由于受翻译、传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激开始。•文艺复兴的意大利成为东西方文化的熔炉.•古代学术传播西欧的路线如图5.1所示一、中世纪的欧洲一、中世纪的欧洲•数学著作的翻译：阿德拉特：《几何原本》、花拉子米天文表；普拉托：巴塔尼《天文学》、狄奥多修斯《球面几何》以及其它著作罗伯特：花拉子米《代数学》等杰拉德：90多部阿拉伯文著作翻译成拉丁文.包括《大汇编》,《原本》,《圆锥曲线论》,《圆的度量》等•斐波那契：《算盘书》(Abaci,1202)印度-阿拉伯数码，分数算法，开方法，二次和三次方程，不定方程，以及《几何原本》和希腊三角学的大部分内容•兔子问题：有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每一个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡，则一对兔子一年内能繁殖成多少对？•斐波纳契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233二、向近代数学的过渡二、向近代数学的过渡1.1三、四次方程求解：•费罗(S.Ferro,1465~1526)：发现形如的三次方程的代数解法，并将解法秘密传给他的学生费奥•塔塔利亚:宣称可以解形如的三次方程,并最终将解法传授与卡尔丹11代数学代数学•卡尔丹：《大术》(或《大法》1545年)三次方程x3=px+q(p,q>0)的解法：实质是考虑恒等式：(ab)3+3ab(ab)=a3b3若选取a和b，使3ab=p，a3b3=q，（*）由（*）不难解出a和b，于是得到ab就是所求的x.后人称之为卡尔丹公式。卡尔丹还对形如x3=px+q(p,q>0)的方程给出了解的公式：x=a+b其中对于带有二次项的三次方程，通过变换总可以将二次项消去，从而变成卡尔丹能解的类型。332322pqqa332322pqqb332322pqqa332322pqqb•费拉里(L.Ferrari,1522~1565)：四次方程求解其解法是利用一个变换：将一般四次方程简化为(这总可以做到)由此进一步得到于是，对于任意的z，有abyx40234edxcxbxax222242prqypyppyy222222)(2)(zpyzrpqypyzpy)2()2(222zpzrpqyyzp024rqypyy再选择适当的z，使上式右边成为完全平方式，实际上使即可。这样就变为z的三次方程。0)2)(2(4222qzpzrpzp费拉里所讨论的四次方程类型主要有以下几种卡尔丹：将塔氏方法推广到一般情形的三次方程，给出几何证明；认识到三次方程有三个根，四次方程有四个根；对三次方程求解中的所谓“不可约”情形感到困惑，认为复根是成对出现的；卡尔丹还发现了三次方程的三根之和等于x2项的系数的相反数，每两根乘积之和等于x项的系数，等等•1572年,意大利数学家邦贝利在其所著教科书《代cbxaxx234baxx34cbxaxx24baxx4代数》中引进虚数，用以解决三次方程不可约情况，并以dimRq11表示-11。•牛顿在其《普遍的算术》中证明复根成对出现•荷兰人吉拉德《代数新发现》(1629)作进一步的推断：对于n次多项式方程，如果把不可能的(复数根)考虑在内，并包括重根，则应有n个根。•根与系数的关系问题后来由韦达、牛顿和格列高里等人作出系统阐述。*法国代数学：•韦达：《分析方法...