《正切函数的诱导公式》导学案VIP专享VIP免费

《正切函数的诱导公式》导学案课程学习目标1.用类比的方法学习、熟记正切函数的诱导公式.2.了解正切函数诱导公式的特点，能利用正切函数诱导公式解决简单的问题.课程导学建议重点:正切函数的诱导公式.难点:熟练运用诱导公式分析问题、解决问题.第一层级：知识记忆与理解知识体系梳理创设情境前面我们学习了正弦函数、余弦函数的诱导公式，知道角α与形如k·±α(k∈Z)的正弦、余弦函数值的关系，那么角α的正切函数值是否也有相应的关系式呢？今天我们就来探讨一下这个问题.知识导学问题1:下列各角的终边与角α的终边的关系角2kπ+α(k∈Z)π+α-α图示与角α终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称角π-α-α+α图示与角α终边的关系关于y轴对称关于直线y=x对称互相垂直问题2:请根据点的对称性推导“-α，π+α，π-α”的诱导公式.设角α与单位圆的交点为(a，b)，(1)-α与α的终边与单位圆的交点关于x轴对称，-α与单位圆的交点为(a，-b).sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα.(2)α+π与α的终边与单位圆的交点关于原点对称，α+π与单位圆的交点为(-a，-b).sin(α+π)=-sinα，cos(α+π)=-cosα，tan(π+α)=tanα.(3)π-α与α的终边与单位圆的交点关于y轴对称，π-α与单位圆的交点为(-a，b)，sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα.问题3:形如“-α，+α”的诱导公式的推导设角α与单位圆的交点为(a，b)，(1)-α的终边与x的终边关于y=x对称，与单位圆交点坐标称为(b，a)，sin(-α)=cosα，cos(-α)=sinα，tan(-α)=cotα.(2)+α的终边即α的终边逆时针旋转90°，与单位圆交点坐标为(-b，a)，sin(+α)=cosα，cos(+α)=-sinα，tan(+α)=-cotα.问题4:正切函数的诱导公式有哪些？(1)tan(α+kπ)=tanα，其中k∈Z.(2)tan(-α)=-tanα.(3)tan(π-α)=-tanα.(4)tan(π+α)=tanα.(5)tan(2π-α)=-tanα.(6)tan(+α)=-.(7)tan(-α)=.知识链接三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用弦切互化法:主要利用公式tanx=化成正弦、余弦函数来进行相关计算.基础学习交流1.已知cot(-α)=，则tan(α-)的值是().A.-B.C.-D.【解析】tan(α-)=tan[--(-α)]=-tan[+(-α)]=cot(-α)=，故选B.【答案】B2.函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间(，)内的图像大致是().【解析】当0，∴y=tanx+sinx-(tanx-sinx)=2sinx，故选D.【答案】D3.函数y=|tanx|的单调递减区间是.【解析】根据y=|tanx|的图像可知.【答案】(-+kπ，kπ)(k∈Z)4.已知tan(+α)=2，求tan(-α)的值.【解析】 (+α)+(-α)=π，∴-α=π-(+α)，∴tan(-α)=tan[π-(+α)]=-tan(+α)=-2.第二层级：思维探索与创新重难点探究探究一利用正切函数诱导公式化简求的值.【方法指导】利用诱导公式将原式的各个角转化为[0°，90°)内的角，然后用特殊角的三角函数值计算.【解析】原式====.【小结】利用诱导公式，将任意角的三角函数问题转化为锐角的三角函数问题，其一般步骤为:任意负角的三角函数相应正角的三角函数[0，2π)的三角函数锐角三角函数三角函数值，诱导公式可用“奇变偶不变，符号看象限”来概括记忆.探究二利用诱导公式证明三角恒等式设tan(α+π)=a，求证:=.【方法指导】从角的关系入手，将所求各角用α+π表示，然后用诱导公式和三角函数关系式求证.【解析】左边=====右边.【小结】本题是条件等式证明问题，采用代入法使被证等式得证.证明条件等式一般有两种方法:一是从被证等式一边推向另一边，在适当的时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形为被证等式，这种方法称作推出法.证明条件等式不论使用哪种方法都要盯住目标，据果变形.探究三利用正切函数诱导公式求值已知角α终边上的一点A(，-1)，求的值.【方法指导】先由角α终边上的一点求角α的某个(些)三角函数值，再利用诱导公式将所需求值的三角函数式化为角α的三角函数表示，最后代入值计算.【解析】原式==sinα，而sinα=-，∴原式=-.[问题]tan(+α)=cotα吗？[结论]对于正切函数诱导...